Associés (éléments)

Dans les entiers, 6 et −6 semblent différents, mais le passage de l'un à l'autre consiste seulement à multiplier par −1. Or −1 peut être annulé par une nouvelle multiplication par −1 : c'est une unité. Les deux nombres sont donc associés.

Être associés signifie ainsi représenter le même élément à une multiplication réversible près. Cette différence ne change ni les diviseurs ni l'idéal principal engendré. Dans ℤ, cette liberté se réduit au choix du signe.

Soit un anneau intègre commutatif. Deux de ses éléments, notés a et b, sont associés lorsqu'une unité u de l'anneau permet d'écrire $a=u\times ba=u\backslash times\; b$. Une unité est un élément qui possède un inverse multiplicatif. La multiplication par u est donc réversible.

L'association est une relation d'équivalence : chaque élément est associé à lui-même, la relation peut être renversée grâce à l'inverse de u, et deux changements d'unité successifs se composent. Elle est aussi compatible avec la multiplication. Deux éléments associés ont exactement les mêmes diviseurs et engendrent le même idéal principal.

Dans l'anneau ℤ, les seules unités sont 1 et −1 : les associés d'un entier sont donc cet entier et son opposé. Dans un anneau factoriel, l'unicité d'une décomposition en facteurs irréductibles s'entend à l'ordre des facteurs et au remplacement de chaque facteur par un associé près.

On travaille dans l'anneau des entiers ℤ. Les données sont les éléments a = −6 et b = 6, ainsi que l'unité u = −1.

1. Multiplier b par l'unité choisie : $(-1)\times 6=-6(-1)\backslash times\; 6=-6$.
2. Comparer le résultat à a : on obtient bien −6.
3. Conclure : −6 et 6 sont associés dans ℤ.

Le contrôle est réversible : l'inverse de −1 est encore −1, et $(-1)\times (-6)=6(-1)\backslash times(-6)=6$. Les diviseurs entiers de 6 et de −6 coïncident : ±1, ±2, ±3 et ±6. La figure synthétise ce changement de représentant sans changement de divisibilité.

Pour comparer deux éléments, on cherche d'abord si l'un s'obtient en multipliant l'autre par une unité. Dans ℤ, il suffit de vérifier s'ils sont égaux au signe près ; pour 6 et −6, la réponse est oui.

Pour étudier la divisibilité, on peut choisir le représentant associé le plus commode. Travailler avec 6 plutôt qu'avec −6 ne modifie pas la liste des diviseurs. Si le multiplicateur n'est pas inversible, ce remplacement n'est pas permis.

Dans une factorisation en irréductibles, deux écritures peuvent donc être la même factorisation malgré des facteurs associés placés dans un autre ordre. Le bon contrôle porte sur les classes d'associés, pas sur l'égalité littérale de chaque facteur.

Égalité et association. Deux éléments égaux sont associés, mais la réciproque est fausse. Dans ℤ, 6 et −6 sont associés parce que −6 = (−1) × 6, tout en restant deux entiers distincts.

Éléments associés et éléments opposés. Deux opposés sont toujours associés, car −1 est une unité. En revanche, l'association ne se réduit au changement de signe que dans un anneau dont les seules unités sont 1 et −1 ; le critère général reste la multiplication par une unité.

Le cas de zéro. Si un élément est associé à 0, il vaut lui-même 0, puisque toute unité multipliée par 0 donne 0. Zéro forme donc seul sa classe d'association.

Un facteur quelconque ne suffit pas. Dans ℤ, 6 = 2 × 3 ne rend pas 6 et 3 associés, car 2 n'est pas une unité. Il faut vérifier l'inversibilité du multiplicateur, et pas seulement l'existence d'une multiplication.

Le signe n'est pas le critère universel. La description « égaux au signe près » vaut pour les entiers. Dans un autre anneau intègre, d'autres unités peuvent exister ; il faut alors revenir à la relation $a=u\times ba=u\backslash times\; b$.

L'unicité factorielle a une marge précise. Dans un anneau factoriel, les facteurs irréductibles ne sont pas exigés identiques terme à terme. On peut les permuter et les remplacer par des associés, sans obtenir une décomposition essentiellement nouvelle.

Le glossaire anneau intègre précise le cadre algébrique dans lequel la relation d'association est ici définie.

La fiche Factorisation prolonge l'étude du rôle des facteurs et aide à situer l'unicité à association et à ordre près.