nombre impairement pair

Prenons 14 objets et partageons-les en deux groupes égaux : chaque groupe en contient 7. Comme 7 est impair, 14 est dit impairement pair.

Ces nombres sont pairs, mais leur moitié ne l'est pas. En avançant de quatre en quatre à partir de 2, on obtient 2, 6, 10, 14, puis 18.

Un nombre impairement pair est un entier naturel qui est le double d'un entier impair. La définition porte ici sur les entiers naturels. Si la lettre k désigne un entier naturel, tout entier de cette catégorie s'écrit $2(2k+1)=4k+22(2k+1)=4k+2$. Réciproquement, toute valeur obtenue avec cette expression est impairement paire.

Cette écriture donne deux critères équivalents. Après division par 2, le quotient est impair. Après division euclidienne par 4, le reste est 2, ce qui se note $n\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)n\backslash equiv\; 2\backslash pmod\; 4$, où la lettre n désigne le nombre testé. Les premiers termes sont 2, 6, 10 et 14. Deux termes consécutifs diffèrent de 4 : ils forment donc une progression arithmétique de raison 4.

On veut déterminer si 14 est impairement pair. La donnée à examiner est l'entier naturel 14. Le test consiste à calculer sa moitié, puis à contrôler la parité du quotient.

1. On partage 14 en deux parts égales : 14 ÷ 2 = 7.
2. Le quotient 7 est impair, car 7 = 2 × 3 + 1.
3. Ainsi, 14 = 2 × 7 : 14 est le double d'un impair.
4. On conclut que 14 est impairement pair.

Un contrôle indépendant utilise la division par 4 : 14 = 4 × 3 + 2. Le reste vaut bien 2. La représentation de 14 points en deux rangées de 7 rend visible le double d'une quantité impaire.

Pour classer rapidement un entier naturel, on calcule le reste de sa division par 4. Un reste de 2 signale un nombre impairement pair ; un reste de 0 conduit plutôt à le classer parmi les multiples de 4.

Dans un calcul, la forme 4k + 2 permet de reconnaître toute la famille sans énumérer ses termes. Elle permet aussi de prévoir que l'ajout de 4 conserve la propriété, tandis que l'ajout de 2 produit un multiple de 4.

Nombre impair. Un nombre impair laisse un reste de 1 lorsqu'on le divise par 2. Un nombre impairement pair est, lui, divisible par 2 : 7 est impair, tandis que 14 est impairement pair.

Multiple de 4. Son reste dans la division par 4 est 0, alors que celui d'un nombre impairement pair est 2. Ainsi, 12 est un multiple de 4, mais 14 est impairement pair.

Zéro n'appartient pas à la suite. Même si 0 est pair et même si certaines conventions l'incluent parmi les entiers naturels, sa moitié 0 n'est pas impaire. La suite commence donc à 2.

Être pair ne suffit pas. Diviser seulement par 2 sans examiner le quotient peut induire en erreur. Pour 12, le quotient vaut 6 et reste pair ; 12 n'est donc pas impairement pair.

Le domaine compte. La définition donnée ici porte sur les entiers naturels. Si l'on étend la même propriété aux entiers relatifs, des valeurs négatives comme −6 apparaissent, mais elles ne font pas partie de la suite naturelle 2, 6, 10, 14, ...

La forme 4k + 2 relie cette famille aux classes de restes modulo 4. Elle montre aussi qu'un entier impairement pair contient exactement un facteur 2 : après une division par 2, on obtient un impair et aucune nouvelle division exacte par 2 n'est possible. Cette lecture ouvre sur la valuation 2-adique, qui compte le nombre de facteurs 2 dans la décomposition d'un entier non nul.