axiome d'Archimède

Imaginez un pas de 0,7 m et une ligne placée à 5 m. Un pas reste petit devant cette distance, mais sa répétition finit par dépasser la ligne : sept pas couvrent 4,9 m et huit pas 5,6 m.

L'axiome d'Archimède généralise cette idée. Quel que soit le seuil positif choisi, répéter assez de fois une même grandeur positive permet de le franchir. Il n'existe donc pas, dans ce cadre, de pas positif si minuscule que toutes ses répétitions entières restent sous le seuil.

Un corps ordonné est dit archimédien lorsque son ordre et ses opérations vérifient la propriété suivante. Le symbole K désigne le corps, A et B deux de ses éléments, et n un entier naturel utilisé comme multiplicateur par additions répétées.

La condition A > 0 est décisive : elle garantit que les multiples A, 2A, 3A, et ainsi de suite, avancent dans l'ordre. Dans un corps ordonné, la formulation équivaut à dire que les entiers naturels ne sont pas majorés. Elle équivaut aussi à ceci : pour tout élément positif ε, il existe un entier naturel non nul n tel que . Ainsi, aucune grandeur positive non nulle n'est plus petite que 1/n pour tous les entiers n. La propriété vaut notamment dans les rationnels et les réels, mais pas dans tous les corps ordonnés possibles.

Soient A et B deux éléments d'un même corps ordonné, avec 0 < A < B. Alors il existe un entier naturel n tel que nA > B. Pour appliquer l'énoncé, on cherche donc un entier strictement supérieur au rapport B/A.

Une variante consiste à diviser plusieurs fois B par 2 : il existe un rang k pour lequel B/2^k < A. Réciproquement, cette inégalité donne 2^kA > B, donc la formulation initiale avec l'entier n = 2^k.

L'énoncé compare deux éléments positifs d'un même ensemble muni d'un ordre compatible avec l'addition. Le multiplicateur n doit être un entier naturel : nA signifie que A est additionné n fois. Dans un corps ordonné, la division par A est permise parce que A est strictement positif, et elle conserve le sens de l'inégalité.

Le contre-cas caractéristique apparaît dans un corps ordonné non archimédien. S'il contient un élément positif ε tel que nε < 1 pour tout entier naturel n, aucun multiple entier de ε ne franchit le seuil 1. L'axiome ne peut alors pas être appliqué ; il faut raisonner dans cette structure en tenant compte de ses éléments infinitésimaux, au lieu d'importer les propriétés des réels.

Un pas mesure A = 0,7 m et le seuil se trouve à B = 5 m. Les deux longueurs sont positives, exprimées dans la même unité, et 0,7 < 5. Cherchons le plus petit entier naturel n tel que nA > B.

1. Divisons le seuil par la longueur d'un pas : B/A = 5/0,7 = 50/7 ≈ 7,14. L'entier cherché doit être strictement supérieur à ce quotient.

2. Le plus petit entier strictement supérieur à 50/7 est 8. Nous choisissons donc n = 8.

3. Vérifions le passage du seuil : 7A = 7 × 0,7 m = 4,9 m ≤ 5 m, tandis que 8A = 8 × 0,7 m = 5,6 m > 5 m. Huit bonds égaux sur une droite graduée rendent visible ce premier dépassement.

4. Le contrôle porte aussi sur la minimalité : tout entier inférieur ou égal à 7 donne au plus 4,9 m, donc ne convient pas. L'entier 8 est bien le premier qui satisfait l'inégalité stricte.

Pour déterminer combien de pas constants dépassent un seuil, divisez le seuil par la taille du pas, puis prenez le premier entier strictement supérieur au quotient. Si atteindre exactement le seuil suffit, le critère devient nA ≥ B et le résultat peut changer.

En analyse, la propriété sert à rendre 1/n aussi petit qu'on le souhaite. Pour une tolérance positive ε, choisir n > 1/ε garantit 1/n < ε. Si la quantité étudiée ne se compare pas à 1/n, il faut établir une autre majoration adaptée plutôt que citer l'axiome seul.

Pour une répétition dont le pas varie, l'axiome ne fournit pas directement le nombre d'étapes. Il faut alors étudier la somme cumulée des pas. Le critère archimédien s'applique tel quel seulement lorsqu'une même grandeur positive est répétée.

Axiome d'Archimède et poussée d'Archimède. Le premier est une propriété d'ordre : des multiples entiers d'une grandeur positive franchissent tout seuil positif. La seconde est un principe physique sur la force exercée par un fluide. Un calcul de flottabilité relève de la poussée, pas de la propriété archimédienne d'un corps ordonné.

Propriété archimédienne et complétude. Être archimédien interdit les éléments infinitésimaux non nuls, tandis que la complétude affirme l'existence de certaines bornes ou limites. Les rationnels tranchent la confusion : ils sont archimédiens, mais l'ensemble des rationnels positifs q tels que q² < 2 n'a pas de borne supérieure rationnelle.

Pas nul ou négatif. Si A = 0, tous ses multiples valent 0 ; si A < 0, ils décroissent. Le symptôme est l'absence de progression vers B. Il faut vérifier A > 0 avant d'appliquer l'axiome.

Inégalité stricte. Lorsque B/A est entier, ce quotient atteint le seuil sans le dépasser. Avec A = 1 et B = 5, n = 5 donne 5, donc il faut n = 6 pour obtenir nA > B. Il faut lire le signe demandé avant d'arrondir.

Cadre non archimédien. Certains corps ordonnés contiennent un élément positif ε plus petit que 1/n pour tout entier naturel non nul n. Le blocage se reconnaît à nε < 1 pour chaque n. Il faut conserver l'ordre propre à ce corps, et non supposer le comportement des réels.

Infini et grandeur infiniment grande. L'axiome n'affirme pas qu'un entier naturel maximal existe ni que l'infini est un nombre réel. Il exclut plutôt, dans le corps considéré, un élément qui dépasserait tous les entiers naturels. Il faut distinguer l'absence de borne de l'existence d'un élément infiniment grand.

Borne supérieure — Distinguer la propriété archimédienne de la complétude et voir ce qu'ajoute l'existence d'une plus petite borne supérieure.

Rationnels — Étudier un corps ordonné archimédien qui n'est pourtant pas complet.

infini — Préciser la différence entre une suite sans borne et un élément infiniment grand.