méthode d'exhaustion

Imaginez une surface courbe que des carreaux rectangulaires recouvrent imparfaitement. Certains carreaux restent entièrement dedans ; d'autres la débordent. Les premiers donnent une aire trop petite, les seconds une aire trop grande.

En multipliant les carreaux et en les rendant plus étroits, les deux estimations se rapprochent. La méthode d'exhaustion transforme cette image en preuve : si les bornes peuvent être rapprochées jusqu'à rendre leur écart plus petit que toute différence positive supposée, le double raisonnement par l'absurde exclut que le résultat soit supérieur ou inférieur à la valeur visée, qui est donc la seule possible.

La méthode d'exhaustion est une procédure de démonstration appliquée aux aires et aux volumes. Elle encadre une grandeur cherchée par des grandeurs calculables, puis resserre cet encadrement. Elle évite de traiter explicitement des objets infiniment petits ou infiniment grands : la preuve n'utilise, à chaque étape, que des grandeurs finies.

Son ressort est l'axiome d'Archimède. Si l'on retranche chaque fois d'une grandeur une partie supérieure à sa moitié, le reste finit par devenir inférieur à toute grandeur positive fixée à l'avance. Il faut d'abord conjecturer une valeur. Un double raisonnement par l'absurde exclut ensuite les deux écarts possibles : la grandeur cherchée ne peut être ni supérieure ni inférieure à cette valeur.

La technique est attribuée à Eudoxe de Cnide, en partie héritée d'Euclide, puis développée par Archimède au III^e siècle avant J.-C. Les paradoxes de l'infini formulés par Zénon d'Élée au V^e siècle avant J.-C. éclairent la prudence grecque envers l'infini explicite. Grégoire de Saint-Vincent a été le premier à nommer cette approche « méthode d'exhaustion ». Elle resta en usage jusqu'aux travaux de Fermat, Pascal et Wallis, puis au calcul infinitésimal de Newton et Leibniz. L'analyse infinitésimale d'Euler et les travaux de Cantor sur l'infini prolongèrent ensuite cette histoire par d'autres cadres.

Soit une grandeur cherchée placée, pour chaque entier positif n, entre une borne inférieure L_n et une borne supérieure U_n. On conjecture une valeur S.

Construisez des encadrements dont l'écart peut devenir inférieur à toute grandeur positive fixée. Supposez d'abord que la grandeur cherchée dépasse S, puis qu'elle est inférieure à S. Si un encadrement assez serré contredit chacune de ces hypothèses, la grandeur est égale à S. Le point d'arrêt est logique : les deux inégalités strictes ont été exclues.

La méthode s'applique lorsqu'une aire ou un volume peut être encadré par des grandeurs calculables. Il faut disposer d'une valeur conjecturée et d'une construction répétable qui resserre les bornes. Enfin, l'écart entre ces bornes doit pouvoir devenir inférieur à toute tolérance positive donnée ; c'est le rôle de la propriété archimédienne.

Chaque borne doit conserver son sens : la borne inférieure reste sous la grandeur cherchée et la borne supérieure au-dessus. Si une construction fournit seulement plusieurs approximations proches, sans encadrement démontré ni contrôle de leur écart, le raisonnement par l'absurde ne peut pas conclure. Il faut alors établir des bornes valides ou présenter le résultat comme une approximation numérique, et non comme une preuve par exhaustion.

On cherche l'aire A comprise entre l'axe horizontal, la droite d'équation y = x, et les abscisses 0 et 1. On conjecture A = 1/2. On partage l'intervalle en n bandes de même largeur 1/n.

1. Les rectangles pris au bord gauche restent sous la droite. Leur aire totale est la borne inférieure L_n.
2. Les rectangles pris au bord droit passent au-dessus. Leur aire totale est la borne supérieure U_n.
3. Les sommes donnent l'encadrement exact suivant :

Avec quatre bandes, les rectangles inférieurs totalisent 3/8 et les supérieurs 5/8 ; la figure rend cet encadrement visible. Si A différait de 1/2 d'une quantité positive d, un entier n tel que 1/(2n) < d placerait les deux bornes plus près de 1/2 que A, ce qui contredirait l'encadrement. Les hypothèses A > 1/2 et A < 1/2 sont donc exclues : A = 1/2 unité d'aire. Le contrôle consiste à vérifier que l'écart 1/n diminue quand n augmente.

Pour établir une aire bordée par une courbe, on construit des figures simples entièrement intérieures et extérieures. On préfère cette voie lorsqu'on sait calculer leurs aires et contrôler l'écart entre les deux familles.

Pour un volume, le même geste consiste à emboîter des solides de volumes connus. Si seules quelques valeurs décimales sont recherchées, une approximation numérique suffit ; l'exhaustion devient utile quand il faut justifier exactement la valeur conjecturée.

Pour lire une démonstration antique, repérez successivement la conjecture, les bornes, la réduction garantie par l'axiome d'Archimède et les deux contradictions. L'absence de l'un de ces éléments signale qu'il s'agit peut-être d'une estimation, pas d'une preuve complète par exhaustion.

Approximation numérique. Elle fournit une valeur avec une précision donnée. L'exhaustion établit une égalité : dans l'exemple, 3/8 et 5/8 sont des approximations pour quatre bandes, tandis que le double raisonnement prouve exactement A = 1/2.

Calcul infinitésimal. Celui-ci s'est développé plus tard avec Fermat, Pascal, Wallis, Newton et Leibniz. La méthode d'exhaustion ne manipule pas explicitement d'infiniment petits : elle oppose des grandeurs finies et invoque la propriété archimédienne.

Simple passage à la limite. Une suite de nombres qui semble se rapprocher d'une valeur ne suffit pas. Dans une preuve par exhaustion, les bornes sont démontrées et toute différence positive supposée est finalement rendue incompatible avec leur écart.

La conjecture vient avant la preuve. La méthode confirme une valeur attendue, mais ne fournit pas à elle seule un procédé général pour la découvrir. Sans candidat précis, le double raisonnement ne peut pas commencer.

Un encadrement fini ne donne pas encore l'égalité. Avec quatre bandes dans l'exemple, on sait seulement que 3/8 ≤ A ≤ 5/8. Il faut montrer que l'écart 1/n peut franchir tout seuil positif.

Le resserrement doit être prouvé. Ajouter des figures ne suffit pas si une borne traverse la grandeur cherchée ou si l'écart cesse de diminuer. On doit vérifier à chaque construction le sens des inégalités et la formule de l'écart.

La propriété archimédienne est indispensable au mécanisme. Elle autorise le choix d'une étape où le reste devient inférieur à la différence positive supposée. Sans cette étape, l'apparente convergence des dessins ne produit pas la contradiction requise.

L'entrée Eudoxe de Cnide situe le mathématicien auquel la méthode est attribuée.

L'axiome d'Archimède approfondit la propriété qui garantit qu'un reste peut passer sous toute grandeur positive fixée.

La fiche Archimède replace le développement de l'exhaustion dans l'œuvre du savant.

L'article Comment Archimède a quarré sa spirale montre une autre rencontre entre géométrie antique et mesure d'une aire.