GéométrieMéthode · Glossaire
méthode d'Archimède
La méthode d'Archimède désigne deux démarches d'encadrement. Pour approcher π, elle inscrit et circonscrit au cercle des polygones réguliers dont les périmètres fournissent des bornes qui se resserrent lorsque le nombre de côtés augmente. La méthode d'exhaustion calcule de même une aire ou un volume entre des mesures de figures simples : la grandeur cherchée est déterminée lorsque ces encadrements sont valides et que leur écart tend vers zéro.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Distinguer les deux sens de la méthode d’Archimède.
- Expliquer pourquoi les polygones donnent deux bornes de π.
- Refaire un encadrement avec 6 puis 12 côtés.
- Reconnaître les conditions qui rendent une exhaustion concluante.
En clair
Imaginez un cercle pris en sandwich entre deux polygones réguliers. Le polygone intérieur a un contour trop court, tandis que le polygone extérieur a un contour trop long. En multipliant leurs côtés, les deux contours épousent de mieux en mieux le cercle.
La méthode d’Archimède exploite ce resserrement : une valeur cherchée, comme π, une aire ou un volume, reste encadrée entre deux mesures calculables. Quand l’écart devient suffisamment petit, l’encadrement donne une approximation contrôlée.
Définition
La méthode d’Archimède désigne deux démarches d’encadrement. Pour approcher π, on inscrit un polygone régulier dans un cercle et on en circonscrit un autre. Le périmètre intérieur est inférieur à la circonférence du cercle, et le périmètre extérieur lui est supérieur. En augmentant le même nombre de côtés des deux polygones, les deux bornes se rapprochent.
Dans un cercle de rayon 1, le nombre de côtés est noté n. Le rapport entre le périmètre inscrit et le diamètre vaut , tandis que le rapport extérieur vaut . On obtient ainsi . Ces formules modernes expriment le mécanisme géométrique d’encadrement.
La méthode d’exhaustion applique la même logique à une aire ou à un volume : des figures simples de mesure connue fournissent des bornes successives. Leur écart converge vers zéro, ce qui détermine la grandeur cherchée par passage à la limite, sans traiter une approximation finie comme une égalité exacte.
Le principe
Pour encadrer une grandeur, choisissez deux figures simples dont les mesures sont calculables : l’une doit rester en dessous de la figure étudiée, l’autre au-dessus. Raffinez les deux figures en conservant cet emboîtement, puis calculez les nouvelles bornes. La procédure s’arrête lorsque leur écart est inférieur à la précision visée. Si cet écart converge vers zéro, les deux suites de mesures désignent une même valeur limite.
Quand l'utiliser
La méthode demande une grandeur géométrique bien définie, deux familles de figures comparables et des mesures que l’on sait calculer. À chaque étape, la figure intérieure doit rester incluse dans l’objet étudié, la figure extérieure doit le contenir, et l’écart entre leurs mesures doit pouvoir être rendu arbitrairement petit. Pour le cercle, les polygones doivent partager le même centre et le même nombre de côtés.
Un simple dessin approché ne suffit pas : si un sommet du polygone prétendument inscrit dépasse du cercle, la borne inférieure n’est plus garantie. Il faut alors reconstruire exactement les figures ou employer une autre méthode d’approximation assortie d’une erreur contrôlée.
Un exemple, pas à pas
On veut encadrer π avec un cercle de rayon 1. Les données sont le diamètre 2, un hexagone régulier puis un dodécagone régulier, chacun construit en versions inscrite et circonscrite.
1. Pour 6 côtés, le périmètre inscrit vaut 6. Divisé par le diamètre, il donne la borne inférieure 3.
2. La borne extérieure correspondante vaut 2√3, soit environ 3,464. On a donc 3 < π < 3,464.
3. On double ensuite le nombre de côtés. Pour 12 côtés, les bornes deviennent 3(√6 − √2) et 12(2 − √3).
4. Numériquement, l’encadrement resserré est :
2. La borne extérieure correspondante vaut 2√3, soit environ 3,464. On a donc 3 < π < 3,464.
3. On double ensuite le nombre de côtés. Pour 12 côtés, les bornes deviennent 3(√6 − √2) et 12(2 − √3).
4. Numériquement, l’encadrement resserré est :
Ainsi, 3,106 < π < 3,215 après arrondi au millième. Le contrôle est direct : l’intervalle obtenu avec 12 côtés est inclus dans celui obtenu avec 6 côtés, et sa largeur passe d’environ 0,464 à 0,110.
En pratique
Pour obtenir quelques décimales de π par géométrie, on calcule les périmètres de deux polygones réguliers autour d’un même cercle. On augmente leur nombre de côtés jusqu’à ce que l’intervalle soit assez étroit. Une approximation numérique plus directe est préférable si la construction géométrique n’est pas l’objet de l’étude.
Pour une aire ou un volume, on choisit des figures simples qui remplissent progressivement l’objet et d’autres qui le recouvrent. L’exhaustion est utile lorsque ces mesures se calculent exactement et se resserrent ; sinon, une méthode numérique adaptée à la forme offre un contrôle plus pratique de l’erreur.
À ne pas confondre
Méthode de Monte-Carlo. Elle estime π à partir d’un échantillonnage et produit une erreur de nature statistique. L’encadrement d’Archimède, lui, fournit deux bornes géométriques certaines : avec les dodécagones du même cercle, π reste nécessairement entre 3,106 et 3,215 après arrondi.
Mesure approchée sur un dessin. Mesurer au réglet un cercle tracé donne une valeur dépendante de l’instrument et du tracé. La méthode d’Archimède calcule les mesures de polygones définis géométriquement ; le cas qui tranche est la possibilité de justifier les deux bornes sans lire une longueur dans la représentation.
Limites et pièges
Une étape finie reste une approximation. Même avec 12 côtés, l’intervalle a encore une largeur d’environ 0,110. Il faut annoncer un encadrement ou un arrondi, jamais remplacer π par l’une des deux bornes avec un signe d’égalité.
Davantage de côtés ne suffit pas sans preuve d’emboîtement. Une construction imprécise peut produire un périmètre qui n’est plus une borne. Il faut vérifier que chaque polygone est réellement inscrit ou circonscrit avant d’interpréter le resserrement numérique.
L’exhaustion exige un écart qui tend vers zéro. Deux suites qui encadrent toujours une grandeur mais conservent un intervalle non nul ne la déterminent pas. Il faut raffiner les figures ou choisir une autre famille dont la convergence est établie.
Pour aller plus loin
L’article À peu près π prolonge l’étude des approximations de π et aide à situer ce que mesure la précision d’une valeur approchée.
La fiche Pi (calcul par la méthode de Monte-Carlo) présente une autre manière d’estimer π, utile pour comparer encadrement géométrique et échantillonnage aléatoire.
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