méthode des isopérimètres

Imaginez un fil de longueur 24 que l'on ferme d'abord en carré. Sans changer la longueur du fil, on le replie ensuite en octogone régulier, puis en polygone régulier à seize côtés. Le contour devient de plus en plus rond.

Pour chaque polygone, un cercle intérieur et un cercle extérieur encadrent sa taille. Leurs rayons se rapprochent d'une même valeur : le rayon du cercle dont la circonférence vaut 24. Relier ce périmètre au rayon donne alors des valeurs de plus en plus précises de π.

La méthode des isopérimètres considère des polygones réguliers convexes qui ont tous un même périmètre positif, noté P, tandis que leur nombre de côtés augmente. Pour un polygone à n côtés, où n est un entier au moins égal à 3, chaque côté mesure P/n. Le rayon du cercle inscrit est noté r_n et celui du cercle circonscrit R_n.

La trigonométrie d'un triangle formé par le centre et la moitié d'un côté donne :
Le cercle inscrit est plus petit que le cercle de même périmètre, lui-même plus petit que le cercle circonscrit. Lorsque n tend vers l'infini, les deux rayons convergent vers le rayon ρ du cercle de circonférence P :

On peut choisir une suite où le nombre de côtés double à chaque étape, par exemple 4, 8, 16, 32, etc. Les rayons se calculent alors par récurrence, sans réévaluer les fonctions trigonométriques. Nicolas de Cues est à l'origine de cette procédure, également utilisée par Descartes.

On fixe un périmètre P et un polygone régulier à n côtés. Si r_n et R_n sont ses rayons inscrit et circonscrit, le doublement du nombre de côtés donne :
À chaque étape, le rayon intérieur augmente et le rayon extérieur diminue.

Les deux rayons encadrent ρ, rayon du cercle de circonférence P. Ils fournissent donc l'encadrement directement applicable :
On s'arrête lorsque la largeur de cet intervalle atteint la précision recherchée.

La construction demande un périmètre P strictement positif et, à chaque étape, un polygone régulier convexe d'au moins trois côtés. Tous les polygones doivent conserver exactement ce même périmètre. Pour obtenir π comme limite, le nombre de côtés doit croître sans borne ; le simple passage d'un carré à un octogone ne donne qu'un encadrement fini.

Si la longueur d'un côté reste fixe pendant que leur nombre augmente, le périmètre augmente lui aussi : les rayons ne convergent plus vers un cercle de périmètre fixé et la récurrence annoncée ne s'applique pas. Il faut alors rétablir un périmètre commun ou employer une autre construction, telle que la méthode d'Archimède autour d'un cercle fixé.

Prenons un périmètre commun P = 24. Les polygones auront successivement 4, 8 puis 16 côtés. On note r_n leur rayon inscrit et R_n leur rayon circonscrit.

1. Pour le carré, r₄ = 3 et R₄ = 3√2 ≈ 4,242641. L'encadrement initial est donc 2,828427 < π < 4.

2. Pour l'octogone, la récurrence donne r₈ = (3 + 4,242641)/2 ≈ 3,621320, puis R₈ = √(4,242641 × 3,621320) ≈ 3,919689. On obtient 3,061467 < π < 3,313708.

3. En doublant encore, r₁₆ ≈ 3,770505 et R₁₆ ≈ 3,844373. L'intervalle devient 3,121445 < π < 3,182598.

Le dessin superpose, à la même échelle, chaque polygone et les trois rayons à comparer. Le contrôle est refaisable : 24/(2 × 3,844373) ≈ 3,121445 et 24/(2 × 3,770505) ≈ 3,182598. Ces deux bornes entourent bien π, et l'intervalle du polygone à seize côtés est plus étroit que celui de l'octogone.

Pour approcher π à la main, on part d'un polygone dont les deux rayons sont connus, puis on répète deux moyennes et une racine carrée. On poursuit les doublements jusqu'à ce que les bornes de π aient les mêmes décimales utiles.

Pour contrôler un calcul, on vérifie trois signes observables : r_n doit augmenter, R_n doit diminuer et r_n doit rester inférieur à R_n. Une rupture de cet ordre révèle une erreur de saisie ou un arrondi trop précoce.

Pour comparer les idées géométriques, on choisit la méthode d'Archimède lorsqu'un cercle fixé sert de référence. On choisit les isopérimètres lorsque le périmètre commun est la donnée fixe et que les polygones eux-mêmes tendent vers le cercle.

Avec la méthode d'Archimède. Archimède fixe un cercle et encadre sa circonférence par des polygones inscrits et circonscrits. La méthode des isopérimètres fixe au contraire le périmètre des polygones. Si le cercle reste identique d'une étape à l'autre, il s'agit du cadre d'Archimède ; si le périmètre polygonal reste identique, il s'agit du cadre isopérimétrique.

Avec une suite de polygones aux côtés de même longueur. « Même périmètre » signifie que la somme des longueurs demeure constante, non que chaque nouveau côté conserve la longueur précédente. Avec 24 comme périmètre, le côté mesure 6 pour le carré, 3 pour l'octogone et 1,5 pour le polygone à seize côtés.

Un nombre fini de côtés ne donne pas π exactement. Avec seize côtés et P = 24, le résultat reste l'intervalle 3,121445 < π < 3,182598. Il faut augmenter n et conserver les deux bornes plutôt que présenter leur moyenne comme une égalité.

La régularité est indispensable aux formules. Un polygone irrégulier peut avoir le même périmètre sans posséder les rayons inscrit et circonscrit utilisés par la récurrence. Il faut construire des polygones réguliers convexes ou renoncer à ces relations.

Les arrondis peuvent dégrader l'encadrement. Arrondir r_n vers le haut ou R_n vers le bas avant l'étape suivante peut resserrer artificiellement l'intervalle. On garde davantage de chiffres pendant les calculs et l'on n'arrondit les bornes qu'en préservant le sens des inégalités.

méthode d'Archimède — Comparer le cercle fixe et ses polygones encadrants avec la construction à périmètre polygonal fixe.

Pi (calcul par la méthode de Monte-Carlo) — Découvrir une approximation probabiliste de π et la confronter à l'encadrement géométrique déterministe.

La théorie de l’approximation — Situer cette suite d'encadrements dans l'étude plus générale des approximations et de leur précision.