van Ceulen Ludolph

En 1596, Ludolph van Ceulen enferme le cercle entre deux polygones réguliers : l'un est tracé dedans, l'autre autour. Leurs périmètres placent la circonférence entre une valeur trop petite et une valeur trop grande.

En multipliant les côtés jusqu'à un polygone à 2⁶² côtés, il resserre cet étau et obtient 35 décimales exactes de π. Elles seront gravées sur sa tombe à Leyde, tandis que l'Allemagne appellera longtemps π le « nombre de Ludolph ».

Ludolph van Ceulen, ou van Coelen, est un mathématicien d'origine allemande né en 1540 et mort en 1610, établi aux Pays-Bas. Issu d'une famille nombreuse sans fortune, il ne suit pas d'études universitaires. Ne lisant ni le latin ni le grec, il accède aux textes mathématiques par des traductions. Il étudie les mathématiques à Anvers, puis enseigne à partir de 1566 tout en pratiquant l'escrime.

Après Delft, où son installation est probablement liée aux persécutions visant ses convictions calvinistes, il gagne Leyde et y poursuit ses deux activités. Son travail sur π provoque des controverses avec Scaliger, recteur de l'université où van Ceulen enseigne, ainsi qu'avec Adrien Romain et Clavius. Son disciple Willebrord Snell traduira ses œuvres en latin.

La méthode, connue grâce à une traduction des travaux d'Archimède, compare des polygones réguliers inscrits et circonscrits à un même cercle. Le premier fournit un périmètre inférieur à la circonférence ; le second, un périmètre supérieur. En augmentant leur nombre de côtés, van Ceulen resserre les deux bornes. En 1596, un polygone à 2⁶² côtés lui donne 35 décimales exactes de π. L'exploit reste sans rival pendant plusieurs dizaines d'années.

Reproduisons le principe d'encadrement sur un cercle de rayon 1 avec deux hexagones réguliers. Cet exemple illustre le geste mathématique, sans reproduire les 2⁶² côtés du calcul de van Ceulen.

Données :
rayon du cercle : 1 ;
diamètre du cercle : 2 ;
nombre de côtés de chaque polygone : 6 ;
côté de l'hexagone inscrit : 1 ;
côté de l'hexagone circonscrit : 2/√3.

1. Le périmètre de l'hexagone inscrit vaut 6 × 1 = 6.
2. Le périmètre de l'hexagone circonscrit vaut 6 × 2/√3 = 4√3.
3. La circonférence du cercle, égale à 2π, se situe strictement entre ces deux périmètres.
4. En divisant les trois termes par 2, on obtient :

Le contrôle est direct : 3 < 3,1416 < 3,4641. L'encadrement à six côtés reste large ; la méthode de van Ceulen consiste à augmenter fortement le nombre de côtés pour rapprocher les deux périmètres de la circonférence.

Pour refaire le principe du calcul, tracez un cercle de rayon 1 puis un polygone régulier à l'intérieur et un autre autour. Comparez leurs périmètres : l'encadrement est préférable à une mesure au dessin, car il fournit une borne inférieure et une borne supérieure.

Pour lire l'expression « 35 décimales exactes », comptez les chiffres placés après la virgule. Il ne s'agit ni de 35 chiffres au total ni d'une valeur entièrement écrite de π, dont le développement décimal ne s'arrête pas.

Dans un texte historique allemand, « nombre de Ludolph » renvoie à π. Dans un texte contemporain, la notation π est le repère le moins ambigu ; le nom historique sert surtout à identifier l'héritage du calculateur.

Ludolph van Ceulen et le nombre de Ludolph. Le premier est le mathématicien ; le second est l'ancien nom donné à π en Allemagne. Une date biographique concerne la personne, tandis qu'une valeur décimale concerne le nombre.

Approximation et valeur exacte. Van Ceulen n'a pas achevé l'écriture de π : il en a déterminé 35 décimales exactes. Si une écriture s'arrête après ces chiffres, elle reste une approximation de π.

Polygone inscrit et polygone circonscrit. Le premier reste dans le cercle et donne la borne basse du périmètre ; le second entoure le cercle et donne la borne haute. Inverser les deux ferait perdre le sens de l'encadrement.

Le nombre de côtés n'est pas le nombre de décimales. Le polygone compte 2⁶² côtés, mais le résultat annoncé en 1596 porte sur 35 chiffres après la virgule. Il faut conserver ces deux quantités dans leurs rôles respectifs.

Un polygone isolé ne donne qu'un encadrement. Avec six côtés, l'intervalle 3 < π < 3,4641 est encore large. Le symptôme est l'écart visible entre les deux bornes ; il faut augmenter le nombre de côtés pour le réduire.

Une cause probable n'est pas un fait certain. La source relie probablement le passage à Delft aux persécutions religieuses visant les calvinistes. Il faut conserver cette prudence et ne pas transformer ce motif possible en certitude biographique.

La langue conditionne l'accès aux sources. Van Ceulen ne lit ni le latin ni le grec et dépend de traducteurs. Ses résultats mathématiques ne doivent pas être confondus avec les traductions latines de ses œuvres, réalisées par Willebrord Snell.

Le glossaire Archimède replace la méthode des polygones dans l'héritage mathématique auquel van Ceulen eut accès par traduction.

La fiche Pi (calcul par la méthode de Monte-Carlo) présente une autre façon d'approcher π, fondée sur une expérience aléatoire.