GéométrieNotion · Glossaire

Inépuisable

La méthode d'épuisement, ou raisonnement par l'inépuisable (ou méthode d'exhaustion), est une technique de démonstration de l'Antiquité grecque, notamment utilisée par Archimède et Eudoxe. Elle consiste à approcher une aire ou un volume par des figures géométriques simples dont on sait calculer la mesure, en montrant que l'erreur peut être rendue arbitrairement petite. Cette méthode est un précurseur du calcul intégral moderne et de la notion de limite. Elle permettait de prouver des formules pour des aires de cercles, de paraboles, etc.

Pour huit côtés, l’octogone rouge donne l’aire par défaut et l’octogone noir l’aire par excès du cercle unité.

Sommaire

Ce que vous allez apprendre

Voir comment des figures inscrites et circonscrites encadrent une aire.
Calculer les bornes obtenues avec 4, 8 puis 16 côtés autour du cercle unité.
Distinguer une preuve par l’inépuisable d’une simple approximation numérique.
Repérer pourquoi une étape finie ou une proximité visuelle ne suffit pas.

En clair

Imaginez un cercle recouvert par des polygones. Un polygone inscrit reste à l’intérieur ; un autre, circonscrit, enferme le cercle. Leurs aires sont calculables et encadrent celle du cercle.

En augmentant le nombre de côtés, les deux contours épousent de mieux en mieux le cercle. L’écart entre leurs aires peut devenir plus petit que toute précision fixée à l’avance. Le raisonnement par l’inépuisable transforme cet encadrement en preuve, sans prétendre qu’un polygone fini devient un cercle.

Définition

La méthode d’épuisement, aussi appelée méthode d’exhaustion ou raisonnement par l’inépuisable, est une technique de démonstration géométrique. Elle approche une aire ou un volume inconnu par des figures simples dont la mesure est connue ou calculable. Des approximations intérieures donnent une borne inférieure ; des approximations extérieures donnent une borne supérieure.

Pour une étape numérotée par l’entier n, appelons L_n la mesure intérieure, U_n la mesure extérieure et A la mesure cherchée. L’encadrement s’écrit

L_n \le A \le U_n

. La condition décisive est la suivante : pour toute erreur positive fixée, on peut choisir une étape où l’écart U_n − L_n lui est inférieur. L’encadrement force alors une valeur unique pour A.

Cette démarche employée dans la géométrie grecque, notamment par Eudoxe et Archimède, a servi à établir des formules d’aires et de volumes, par exemple pour le cercle ou la parabole. Elle préfigure la notion moderne de limite et le calcul intégral, mais s’exprime par des encadrements géométriques et une preuve sur l’erreur.

Un exemple, pas à pas

Prenons un cercle de rayon 1. Son aire vaut π ; nous allons l’encadrer avec des polygones réguliers inscrits et circonscrits ayant le même nombre n de côtés. La figure rend visible cet encadrement pour n = 8.

Données. Le rayon est 1. Pour n côtés, l’aire inscrite L_n et l’aire circonscrite U_n sont données par :

L_n=\frac{n}{2}\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right),\qquad U_n=n\tan\left(\frac{\pi}{n}\right)

1. Avec un carré, L₄ = 2 et U₄ = 4 : ainsi 2 ≤ π ≤ 4.
2. Avec un octogone, L₈ = 2√2 ≈ 2,828 et U₈ = 8(√2 − 1) ≈ 3,314.
3. Avec 16 côtés, L₁₆ ≈ 3,061 et U₁₆ ≈ 3,183. Nous obtenons donc 3,061 < π < 3,183.

Le contrôle consiste à soustraire les deux dernières bornes : 3,183 − 3,061 = 0,122. Le nouvel encadrement est bien plus serré que celui du carré. En doublant encore le nombre de côtés, cet écart continue de diminuer ; la preuve complète montre qu’il peut devenir inférieur à toute tolérance positive choisie.

En pratique

Pour établir l’aire d’une forme courbe, on cherche deux familles de figures calculables qui l’encadrent. Si seul un dessin approché est disponible, une estimation numérique convient mieux, mais elle ne constitue pas à elle seule une démonstration.

Pour contrôler un résultat, on calcule une borne par défaut et une borne par excès. Lorsque leur différence est inférieure à la précision exigée, toute valeur comprise entre elles est connue avec cette précision.

Dans un raisonnement moderne, une limite ou une intégrale offre souvent un langage plus direct. L’inépuisable reste particulièrement éclairant lorsque les bornes ont une construction géométrique visible et que l’on veut comprendre pourquoi l’erreur s’annule à la limite.

À ne pas confondre

Une approximation numérique. Donner 3,14 comme valeur de π fournit une précision pratique. La méthode d’épuisement ajoute une preuve : elle produit deux bornes et montre que leur écart peut être rendu aussi petit que souhaité.

Une preuve par récurrence. La récurrence établit une propriété pour tous les entiers en passant d’un rang au suivant. L’inépuisable, lui, enferme une grandeur entre des mesures dont l’écart tend vers zéro. Doubler le nombre de côtés peut intervenir dans les deux raisonnements, mais le critère qui conclut n’est pas le même.

Limites et pièges

Une étape finie ne donne pas l’égalité. Même avec 16 côtés, le polygone inscrit n’est pas le cercle : le symptôme est l’intervalle non nul 3,061 < π < 3,183. Il faut raisonner sur toute la famille d’encadrements.

Des approximations visuellement proches ne suffisent pas. Un contour peut sembler confondu avec la courbe sans que l’erreur d’aire soit contrôlée. Il faut calculer des bornes et démontrer que leur différence devient inférieure à toute tolérance positive.

Une seule suite de valeurs peut laisser un doute. Si des aires intérieures augmentent sans borne extérieure correspondante, le dessin ne prouve pas qu’elles atteignent la mesure visée. Un encadrement commun, ou un argument de limite équivalent, doit identifier la valeur de façon unique.