Eudoxe de Cnide

Vers 406–355 avant notre ère, Eudoxe travaille entre mathématiques et astronomie grecques. Il cherche à raisonner sur des grandeurs qui ne partagent pas une même unité de mesure, puis à approcher les contours courbes par épuisement progressif de l'écart.

Pour le ciel, il imagine des sphères emboîtées ayant toutes le même centre. Leurs rotations uniformes composent un modèle géométrique des mouvements planétaires. Ces deux gestes — comparer rigoureusement et construire un modèle — expliquent la portée de ses travaux.

Eudoxe de Cnide est un mathématicien et astronome grec de l'Antiquité, situé vers 406–355 avant notre ère. Élève d'Archytas de Tarente et de Platon, il relie plusieurs domaines par des constructions et des raisonnements géométriques. Sa théorie des proportions compare rigoureusement des grandeurs, y compris lorsqu'elles sont incommensurables, c'est-à-dire lorsqu'aucune même unité ne les mesure toutes deux par des nombres entiers. Cette théorie sera reprise dans les Éléments d'Euclide.

Sa méthode d'exhaustion calcule des aires et des volumes de figures curvilignes en réduisant progressivement l'écart entre la grandeur cherchée et des grandeurs accessibles par la géométrie. Elle constitue un ancêtre du calcul intégral, sans se confondre avec son formalisme moderne.

En astronomie, Eudoxe propose le premier modèle géométrique quantitatif des mouvements planétaires. Chaque planète y est portée par des sphères homocentriques, donc emboîtées autour d'un même centre, dont les rotations sont uniformes. Callippe perfectionne ensuite ce modèle, qu'Aristote adopte et qui domine la cosmologie jusqu'aux travaux de Copernic. Eudoxe est aussi associé à la géographie mathématique, au rapport des arcs diurne et nocturne et à l'amélioration du dioptre.

Prenons comme exemple conducteur un disque de rayon 1. Les données sont le centre commun, le rayon 1, un carré inscrit dont les sommets touchent le cercle et un carré circonscrit dont les côtés lui sont tangents.

1. Le carré inscrit a pour diagonale le diamètre 2. Son aire vaut donc 2.

2. Le carré circonscrit a pour côté le diamètre 2. Son aire vaut donc 4.

3. L'aire du disque, notée A, est comprise entre ces deux aires : $2<A<42\; \backslash lt\; A\; \backslash lt\; 4$. Le dessin rend cet encadrement directement contrôlable.

4. En remplaçant les carrés par des polygones ayant davantage de côtés, l'écart se resserre. On contrôle le raisonnement en vérifiant que chaque polygone intérieur reste dans le disque et que chaque polygone extérieur le contient. C'est l'intuition de l'exhaustion : réduire l'écart plutôt que mesurer d'emblée le contour courbe.

En histoire des mathématiques, le nom d'Eudoxe aide à relier la comparaison des grandeurs incommensurables aux Éléments d'Euclide. Lorsque le problème porte plutôt sur une approximation d'aire courbe, la méthode d'exhaustion constitue le repère pertinent.

Face à une figure curviligne, on peut rechercher des figures rectilignes dont les aires encadrent la valeur voulue. Si l'encadrement se resserre quand la construction se raffine, le dessin montre le geste mathématique associé à l'exhaustion.

En histoire de l'astronomie, on reconnaît le modèle d'Eudoxe à des sphères emboîtées de même centre et animées de rotations uniformes. Un modèle héliocentrique appelle un autre repère historique, celui des travaux de Copernic.

Méthode d'exhaustion et calcul intégral. La première est un ancêtre historique du second, pas son autre nom. Un calcul utilisant le formalisme intégral moderne relève du calcul intégral, même s'il poursuit un objectif d'aire comparable.

Sphères homocentriques et modèle de Copernic. Le critère distinctif du modèle d'Eudoxe est l'emboîtement autour d'un même centre avec des rotations uniformes. Les travaux de Copernic marquent un changement de modèle cosmologique, non un simple perfectionnement de ces sphères.

Eudoxe et Callippe. La source attribue le premier modèle à Eudoxe, puis son perfectionnement à Callippe. Une caractéristique ajoutée lors de ce perfectionnement ne doit donc pas être automatiquement attribuée à Eudoxe.

Dates approximatives. La mention « vers 406–355 avant notre ère » signale une chronologie approchée. Il faut conserver « vers » et ne pas transformer ces bornes en dates certaines.

Encadrement trop grossier. Dans l'exemple du disque de rayon 1, les aires 2 et 4 donnent un encadrement exact mais peu précis. Le symptôme est l'écart encore large ; il faut augmenter le nombre de côtés des polygones et vérifier à nouveau inclusion et contenance.

Attribution en cascade. Le modèle est proposé par Eudoxe, perfectionné par Callippe puis adopté par Aristote. Si une propriété n'est attestée que dans une version ultérieure, il faut la rattacher à cette version plutôt qu'au modèle initial.

Attributions secondaires. Les travaux sur le rapport des arcs diurne et nocturne et les améliorations du dioptre sont présentés comme attribués à Eudoxe. Cette formulation invite à ne pas les exprimer avec la même certitude que ses contributions majeures.

La méthode d'exhaustion permet d'approfondir le raisonnement géométrique associé au calcul des aires et volumes curvilignes.

L'article À peu près π prolonge l'exemple conducteur par l'histoire des approximations d'une grandeur liée au cercle.

La fiche Platon replace l'un des maîtres d'Eudoxe dans le contexte intellectuel grec.

La fiche Copernic Nicolas éclaire le changement cosmologique qui clôt la longue domination du modèle hérité d'Eudoxe.