méthode a danda

Prenons 23 × 14. Au lieu de multiplier ces deux nombres d'un seul geste, on sépare 23 en 20 et 3, puis 14 en 10 et 4. On place ces valeurs sur les bords d'un tableau. Chaque case reçoit alors un petit produit : 200, 30, 80 ou 12. En additionnant ces quatre résultats, on retrouve 322. La méthode a danda rend ainsi visibles tous les morceaux du calcul.

La méthode a danda est une ancienne présentation des algorithmes écrits de multiplication et de division, employée en Toscane au XVI^e siècle. Pour multiplier, chaque facteur est décomposé suivant la valeur de position de ses chiffres. Ainsi, 23 devient 20 + 3 et 14 devient 10 + 4. Le premier facteur occupe les colonnes supérieures d'un tableau à double entrée ; le second est écrit verticalement à gauche.

Chaque case contient le produit de la valeur placée au-dessus de sa colonne par celle placée au début de sa ligne. Les produits partiels sont ensuite additionnés par lignes et par colonnes. Cette organisation applique la distributivité de la multiplication : le produit d'une somme par une autre somme est la somme de tous les produits croisés.

Pour la division, les chiffres du dividende sont abaissés successivement et les produits partiels sont inscrits au fur et à mesure, comme dans le procédé actuel. La méthode a danda succède progressivement à la méthode Galley et précède la présentation moderne du calcul posé. Sa faiblesse pratique est la quantité de zéros intermédiaires qu'impose l'écriture explicite des valeurs de position.

Pour multiplier par la méthode a danda, décomposez d'abord les deux facteurs selon les rangs de leurs chiffres. Écrivez les termes du premier facteur au-dessus des colonnes et ceux du second à gauche des lignes. Multipliez ensuite les deux valeurs qui désignent chaque case. Additionnez enfin tous les produits partiels, directement ou par totaux de lignes et de colonnes. Le calcul s'arrête lorsque chaque paire de termes a été multipliée et que tous les résultats ont été additionnés une seule fois.

La multiplication a danda s'applique à des nombres dont les chiffres peuvent être séparés par valeurs de position. Il faut connaître les deux facteurs, conserver la valeur complète de chaque rang — 20 plutôt que 2 pour les dizaines de 23 — et remplir une case pour chaque paire de termes. Le résultat obtenu est leur produit.

Un contrôle est indispensable lorsque les facteurs possèdent plusieurs rangs : oublier une case revient à supprimer un produit partiel. Si l'objectif est seulement de calculer avec peu d'écritures, l'accumulation de zéros rend cette présentation peu commode ; la technique posée actuelle est alors préférable. Pour une division, le tableau multiplicatif ne se transpose pas tel quel : on abaisse successivement les chiffres du dividende.

Calculons 23 × 14. Les données sont les deux facteurs 23 et 14, leurs décompositions 23 = 20 + 3 et 14 = 10 + 4, et un tableau comportant deux colonnes et deux lignes. La figure matérialise les quatre produits partiels et leurs totaux.

1. Placez 20 et 3 au-dessus des colonnes, puis 10 et 4 à gauche des lignes.
2. Remplissez la première ligne : 10 × 20 = 200 et 10 × 3 = 30 ; son total vaut 230.
3. Remplissez la seconde ligne : 4 × 20 = 80 et 4 × 3 = 12 ; son total vaut 92.
4. Additionnez les deux totaux : 230 + 92 = 322.

Le résultat est donc 23 × 14 = 322. Pour le contrôler autrement, les colonnes donnent 200 + 80 = 280 et 30 + 12 = 42, puis 280 + 42 = 322. Les deux chemins additionnent exactement les mêmes quatre cases.

Pour étudier la multiplication, le tableau a danda montre d'où vient chaque produit partiel. Avec 23 × 14, on peut pointer les quatre cases avant de les additionner et vérifier qu'aucun croisement n'a été oublié.

Pour effectuer rapidement une opération, le calcul posé actuel demande moins d'écritures. On le préfère lorsque les zéros des valeurs de position encombrent le tableau a danda.

Pour lire l'histoire des algorithmes, cette présentation rend visible une étape entre la méthode Galley et la disposition moderne. La comparaison porte alors sur l'organisation des produits partiels, non sur le résultat, qui reste le même.

La méthode a danda n'est pas la distributivité elle-même. La distributivité est la propriété mathématique qui autorise la décomposition ; a danda est une manière d'organiser par écrit les produits obtenus. Dans 23 × 14, l'égalité des deux calculs relève de la distributivité, tandis que leur placement dans quatre cases relève de la méthode.

Elle ne se confond pas non plus avec la présentation actuelle du calcul posé. A danda écrit explicitement les valeurs de position dans un tableau à double entrée, ce qui fait apparaître davantage de zéros. Les deux présentations peuvent donner 322 pour 23 × 14, mais leurs écritures intermédiaires diffèrent.

Le principal piège est de perdre la valeur de position en remplaçant 20 par 2 dans l'exemple 23 × 14. Le symptôme est immédiat : la case attendue à 200 devient 20. Il faut écrire les dizaines, centaines et autres rangs avec leurs zéros avant de multiplier.

Le nombre de cases augmente avec le nombre de rangs. Deux facteurs à deux chiffres produisent quatre cases ; un facteur à trois chiffres multiplié par un facteur à deux chiffres en produit six. Le tableau reste correct, mais les produits partiels et leurs zéros deviennent vite encombrants ; il faut contrôler chaque croisement ou choisir l'écriture posée actuelle.

Enfin, la description de la division ne doit pas être assimilée au tableau de multiplication. Dans la division a danda, les chiffres du dividende sont abaissés successivement et les produits partiels sont portés au fur et à mesure. Il faut donc suivre cette succession plutôt que fabriquer des produits croisés.

La méthode a danda permet d'observer deux évolutions distinctes. Sur le plan mathématique, son tableau expose la distributivité en séparant tous les produits croisés. Sur le plan historique, elle prend place entre la méthode Galley et la présentation actuelle des opérations posées. En France, la diffusion de cette dernière est liée au développement de l'enseignement primaire et des écoles normales après 1810, puis à leur consolidation par la loi Guizot de 1833.