ArithmétiqueNotion · Glossaire
multiplication per gelosia
La multiplication per gelosia est un algorithme écrit qui calcule le produit de deux nombres en numération décimale positionnelle au moyen d'une grille. Chaque case contient le produit de deux chiffres, séparé par une diagonale entre dizaines et unités ; les sommes le long des diagonales, avec report des retenues, recomposent les rangs décimaux du résultat. Cette organisation rend visibles les produits élémentaires et facilite le repérage des erreurs.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Construire une grille adaptée au nombre de chiffres des deux facteurs.
- Placer dizaines et unités dans les cases diagonales.
- Additionner les diagonales avec retenue et vérifier 23 × 47 = 1 081.
- Situer les principaux noms et l'origine historique rapportée de la méthode.
En clair
Imaginez une grille dont chaque case est coupée en deux par une diagonale. Pour calculer 23 × 47, on place 23 au-dessus et 47 sur le côté. Chaque case reçoit un petit produit : sa dizaine d'un côté de la diagonale, son unité de l'autre. Il ne reste ensuite qu'à additionner les chiffres par bandes diagonales, avec les retenues habituelles. La grille organise ainsi tous les produits intermédiaires et conduit à 1 081.
Définition
La multiplication per gelosia est un algorithme écrit fondé sur la numération décimale positionnelle. Elle porte aussi les noms de multiplication par jalousies, par filet, par grillage, italienne, grecque ou per modo di quadrato. Le mot italien gelosia, « jalousie », évoque les volets à lamelles auxquels ressemble sa grille.
Pour un premier facteur de n chiffres et un second de p chiffres, la grille comporte n × p cases. Le premier facteur est écrit horizontalement au-dessus et le second verticalement à gauche. Chaque case est traversée par une diagonale descendante de gauche à droite. Le produit des deux chiffres correspondants y est séparé en une dizaine, placée à gauche de la diagonale, et une unité, placée à droite. Les chiffres sont enfin additionnés le long des diagonales, avec report des retenues vers la gauche. Le résultat se lit depuis le coin inférieur droit vers le coin supérieur gauche.
Étroitement apparentée à la multiplication à la chinoise, cette technique serait d'origine indienne, puis aurait circulé en Chine et dans le monde musulman. Elle apparaît en Europe dans le Liber Abaci de Léonard de Pise, en 1202. Elle a inspiré les bâtons de Neper avant d'être supplantée par la multiplication en colonnes à la fin du XVIe siècle.
Un exemple, pas à pas
On veut multiplier 23 par 47. Les données sont les chiffres 2 et 3 du premier facteur, puis 4 et 7 du second. La grille a donc 2 × 2 cases. La figure rend visibles les quatre produits et leur séparation entre dizaines et unités.
1. On calcule les produits de la première ligne : 2 × 4 = 08 et 3 × 4 = 12. On inscrit bien 0 comme chiffre des dizaines de 08.
2. On complète la seconde ligne : 2 × 7 = 14 et 3 × 7 = 21.
3. En partant de la diagonale inférieure droite, les sommes successives valent 1, puis 2 + 4 + 2 = 8, puis 1 + 1 + 8 = 10. On écrit 0 et on reporte la retenue 1 vers la dernière diagonale, qui vaut alors 1.
Le résultat lu est donc :
Pour contrôler, la multiplication en colonnes donne 23 × 40 + 23 × 7 = 920 + 161 = 1 081.
En pratique
Pour apprendre la multiplication posée, la grille matérialise la place des dizaines et des unités. Elle est utile lorsque les produits intermédiaires se mélangent : chaque paire de chiffres possède sa case.
Pour vérifier un calcul, on peut refaire 23 × 47 par gelosia puis comparer 1 081 au résultat obtenu en colonnes. Si les réponses diffèrent, les quatre cases et les sommes diagonales permettent de localiser l'erreur.
Pour étudier l'histoire du calcul, la grille montre le principe dont dérivent les bâtons de Neper. La méthode en colonnes reste plus compacte ; la gelosia est préférable lorsque l'organisation visuelle des produits est précisément l'objet observé.
À ne pas confondre
La multiplication en colonnes. Elle aligne des produits partiels selon leur rang décimal, sans grille diagonale. Pour 23 × 47, la présence de quatre cases contenant 08, 12, 14 et 21 caractérise la gelosia ; les lignes 161 et 920 appartiennent au calcul en colonnes.
La multiplication à la chinoise. La source les dit étroitement apparentées, mais ne les présente pas comme deux noms strictement interchangeables. Lorsqu'un procédé est décrit par une grille de cases coupées en diagonale, l'appellation précise est multiplication per gelosia.
Limites et pièges
Un produit inférieur à 10 garde deux emplacements. Dans la case correspondant à 2 × 4, écrire seulement 8 masque la séparation décimale. Il faut inscrire 08, avec 0 du côté des dizaines et 8 du côté des unités.
Une somme diagonale peut dépasser 9. Dans 23 × 47, la troisième somme vaut 10. Lire directement « 10 » dans le résultat fausse sa position : on écrit 0 et on reporte 1 vers la diagonale de gauche.
La taille dépend du nombre de chiffres, non de leur valeur. Deux facteurs de deux chiffres exigent 2 × 2 cases, même si certains produits contiennent un zéro. Avec un facteur d'un seul chiffre, la grille se réduit à une ligne ou une colonne, mais le même partage dizaines-unités demeure.
L'orientation doit rester cohérente. La convention décrite place le premier facteur au-dessus, le second à gauche et fait descendre les diagonales de gauche à droite. Si la grille est tournée ou construite autrement, il faut adapter le sens de lecture au lieu de conserver mécaniquement celui du coin inférieur gauche.
Pour aller plus loin
La fiche Fibonacci Leonardo replace Léonard de Pise, auteur du Liber Abaci de 1202, dans l'histoire des mathématiques.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres