AlgèbreNotion · Glossaire
Fibonacci Leonardo
Leonardo Pisano, dit Fibonacci, est un mathématicien médiéval qui a contribué à diffuser en Europe occidentale la numération indo-arabe et le calcul positionnel en base dix, notamment par le Liber Abaci. Son nom reste attaché à la suite commençant par 0 et 1, où, à partir du troisième terme, chaque terme est la somme des deux précédents, et dont les rapports un+1/un, pour n ≥ 1, convergent vers le nombre d'or.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Situer Leonardo Pisano entre Pise, Béjaïa et le bassin méditerranéen.
- Identifier le rôle du Liber Abaci dans la transmission de la numération indo-arabe en Europe occidentale.
- Construire les termes 0, 1, 1, 2, 3, 5 et 8 par récurrence.
- Distinguer les rapports de termes consécutifs de leur limite, le nombre d'or.
En clair
Vers 1200, un voyageur revenu à Pise rapporte une manière de calculer apprise autour de la Méditerranée. Leonardo Pisano, surnommé Fibonacci, avait notamment étudié à Béjaïa, dans l'actuelle Algérie.
Dans le Liber Abaci, il transmet à l'Europe occidentale la numération indo-arabe, le calcul en base dix et des techniques arithmétiques et algébriques. Son nom reste aussi attaché à la suite 0, 1, 1, 2, 3, 5…, où, à partir du troisième terme, chaque terme est la somme des deux précédents.
Définition
Leonardo Pisano, dit Fibonacci, est un mathématicien médiéval né à Pise vers 1170 et mort vers 1250. Éduqué à Béjaïa, où son père représentait les marchands pisans, il voyage autour du bassin méditerranéen jusqu'aux environs de 1200. Il y assimile les mathématiques arabes, dont la numération indo-arabe et l'algèbre d'Al-Khwarizmi.
De retour à Pise, il compose le Liber Abaci. Cet ouvrage introduit en Europe occidentale la numération positionnelle en base dix, les chiffres arabes et diverses techniques de calcul arithmétique et algébrique. Fibonacci le révise et l'enrichit en 1228. La Practica Geometriae de 1220 traite de géométrie et de trigonométrie. Le Flos date de 1225, tandis que le Liber Quadratorum porte sur les triplets pythagoriciens et les propriétés des carrés.
Son nom demeure associé à une suite. Si le terme de rang n est noté un, ses valeurs initiales sont u0 = 0 et u1 = 1, puis, pour n ≥ 0, chaque terme est obtenu par la relation . Les rapports un+1/un, considérés pour n ≥ 1, convergent vers le nombre d'or. Reconnus de son vivant, ses travaux tombent ensuite dans l'oubli pendant le reste du Moyen Âge, avant leur redécouverte par les historiens des mathématiques.
Un exemple, pas à pas
Prenons la suite associée au nom de Fibonacci. Les deux données de départ sont le terme de rang zéro, u0 = 0, et le terme de rang un, u1 = 1. Chaque nouveau terme doit être la somme des deux précédents.
1. Additionnons 0 et 1 : u2 = 1.
2. Additionnons 1 et 1 : u3 = 2.
3. Additionnons 1 et 2 : u4 = 3.
4. Additionnons 2 et 3 : u5 = 5.
5. Additionnons 3 et 5 : u6 = 8.
2. Additionnons 1 et 1 : u3 = 2.
3. Additionnons 1 et 2 : u4 = 3.
4. Additionnons 2 et 3 : u5 = 5.
5. Additionnons 3 et 5 : u6 = 8.
On obtient donc 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8. Le schéma rend visible la même règle sur chaque groupe de trois termes consécutifs.
Pour contrôler le dernier calcul, on reprend seulement les deux termes qui le précèdent : 3 + 5 = 8. Les derniers rapports valent 5/3 ≈ 1,667 puis 8/5 = 1,6. Ces deux valeurs ne sont pas le nombre d'or ; elles illustrent l'approche progressive annoncée par la convergence.
En pratique
Pour produire les termes de la suite, on conserve les deux dernières valeurs et on les additionne. Si une valeur obtenue n'est pas la somme des deux précédentes, la construction a dévié.
Pour lire le Liber Abaci dans l'histoire des mathématiques, on observe surtout son rôle de transmission : numération positionnelle en base dix, chiffres arabes, arithmétique et algèbre. Pour une question de géométrie ou de trigonométrie, la Practica Geometriae est l'ouvrage pertinent.
Pour relier la suite au nombre d'or, on compare des termes consécutifs de rang croissant. Il faut examiner l'évolution des rapports, et non prendre un rapport isolé pour une égalité exacte.
À ne pas confondre
Fibonacci et la suite de Fibonacci. Fibonacci est Leonardo Pisano, une personne ayant vécu vers 1170–1250 ; la suite est un objet mathématique attaché à son nom. Le critère est simple : une biographie porte sur ses voyages et ses ouvrages, tandis qu'un calcul tel que 3 + 5 = 8 porte sur la suite.
Suite de Fibonacci et nombre d'or. La première est une suite de nombres ; le second est la limite des rapports un+1/un pour n ≥ 1, ce qui exclut le rapport initial 1/0, indéfini. Ainsi, 8/5 = 1,6 est un rapport de la suite, pas une égalité donnant le nombre d'or.
Limites et pièges
Des dates approximatives. Les années de naissance et de mort sont données vers 1170 et vers 1250. Les présenter comme des dates exactes supprimerait l'incertitude signalée par la source.
Une convergence n'est pas une égalité terme à terme. Les rapports 5/3 ≈ 1,667 et 8/5 = 1,6 diffèrent. Il faut augmenter le rang et observer leur tendance, sans identifier un rapport particulier au nombre d'or.
Les deux valeurs initiales comptent. La relation d'addition seule ne fixe pas une suite unique. Pour retrouver ici 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, il faut aussi conserver u0 = 0 et u1 = 1.
Une influence n'est pas une continuité de lecture. Les travaux de Fibonacci furent reconnus de son vivant, puis oubliés pendant le reste du Moyen Âge. Leur redécouverte ultérieure par les historiens doit être distinguée de leur réception médiévale.
Pour aller plus loin
suite de Fibonacci — Pour approfondir la récurrence, la construction des termes et les propriétés de la suite attachée au nom de Leonardo Pisano.
nombre d'or — Pour préciser la valeur vers laquelle convergent les rapports de termes consécutifs de la suite.
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