table de Pythagore

Cherchez 6 sur le bord gauche d’une table de multiplication, puis 7 sur son bord supérieur. La ligne de 6 et la colonne de 7 se croisent sur 42 : la case donne donc 6 × 7.

Si l’on échange les deux bords, la case 7 × 6 contient encore 42. Ce reflet de part et d’autre de la diagonale traduit l’égalité des produits quand on inverse les facteurs. Sur la diagonale, les deux facteurs sont égaux : on y lit 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 et 100.

Une table de Pythagore de taille n est un tableau carré dont les lignes et les colonnes sont repérées par les entiers de 1 à n. Le nombre n fixe donc la dernière ligne et la dernière colonne ; il ne désigne pas une base de numération. À l’intersection de la ligne repérée par l’entier i et de la colonne repérée par l’entier j, la case contient le produit i × j.

Comme i × j = j × i pour les entiers, le tableau est symétrique par rapport à sa diagonale principale. Les cases de cette diagonale ont i = j et contiennent les carrés parfaits i². Dans une table allant de 1 à 10, la ligne 6 est formée de 6, 12, 18, …, 60 ; sa somme vaut 6 × (1 + 2 + … + 10) = 330.

La présentation ne dépend pas de l’écriture décimale des nombres : les mêmes produits peuvent être écrits dans une autre base. On peut aussi dresser un tableau à double entrée pour une autre loi de composition interne. Une table de Cayley enregistre ainsi le résultat de l’opération entre deux éléments d’un groupe fini ; sa symétrie n’est garantie que si cette opération est commutative.

On rencontre la table de Pythagore sur une fiche scolaire, une affiche de classe ou un outil de calcul. Elle se reconnaît à sa grille carrée, aux mêmes entiers inscrits en tête des lignes et des colonnes, aux produits placés dans les cases et à la suite 1, 4, 9, 16… sur la diagonale.

Le support porte davantage qu’une liste de résultats : la position de chaque nombre conserve ses deux facteurs. La répétition de 42 aux croisements 6–7 et 7–6 rend la symétrie observable. Sur les bâtons de Napier, les colonnes de produits sont transférées sur des réglettes mobiles que l’on rapproche pour lire une multiplication.

La grandeur lue dans une case est le produit des deux entiers qui repèrent sa ligne et sa colonne. Dans la convention la plus courante, les facteurs vont de 1 à n dans un ordre croissant, mais certains supports ajoutent une ligne et une colonne pour 0.

1. Repérez le premier facteur sur le bord gauche.
2. Suivez sa ligne jusqu’à la colonne du second facteur.
3. Lisez le produit dans la case d’intersection.
4. Contrôlez la lecture en échangeant ligne et colonne : pour la multiplication des entiers, la case symétrique doit contenir le même nombre.

L’œil peut confondre un nombre répété avec un emplacement unique. Dans une table contenant au moins les facteurs de 1 à 9, 42 apparaît pour 6 × 7 et 7 × 6 : il faut toujours relire les deux en-têtes. De même, 36 apparaît comme 4 × 9, 6 × 6 et 9 × 4 ; seule la case 6 × 6 est sur la diagonale et représente ici le carré 6².

Dans une table de Pythagore allant de 1 à 10, on veut lire 6 × 7 et vérifier deux propriétés du tableau. Les données sont le facteur de ligne 6, le facteur de colonne 7 et la borne n = 10.

1. La ligne 6 contient les multiples 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54 et 60.
2. La colonne 7 croise cette ligne sur 42, donc 6 × 7 = 42.
3. La ligne 7 et la colonne 6 se croisent aussi sur 42, ce qui contrôle la symétrie.
4. La case diagonale de la ligne 6 vaut 6 × 6 = 36 : c’est le carré 6².
5. La somme de la ligne 6 est 6 × (1 + 2 + … + 10) = 6 × 55 = 330.

Le produit cherché est 42. On peut le contrôler sans la grille en additionnant sept fois 6, ce qui donne 42. Pour la somme de ligne, l’addition directe des dix multiples de 6 redonne 330.

Pour retrouver un produit élémentaire, on suit une ligne et une colonne. Une addition répétée est préférable lorsque la table s’arrête avant l’un des facteurs ou lorsqu’on veut vérifier le résultat sans dépendre du support.

Pour repérer les carrés parfaits, on parcourt uniquement la diagonale : 6 × 6 y donne 36. Si l’on cherche toutes les décompositions d’un nombre en produit de deux facteurs présents dans la table, il faut au contraire examiner toutes ses occurrences.

Pour étudier des régularités, on compare des lignes, des colonnes ou leurs sommes. Les bâtons de Napier deviennent utiles quand plusieurs colonnes de produits doivent être rapprochées et lues comme un dispositif de calcul mobile.

La table de Pythagore n’est pas le théorème de Pythagore. La première organise des produits dans une grille ; le second relie les longueurs des côtés d’un triangle rectangle. Une grille contenant 6 × 7 = 42 relève de la table, pas d’un calcul de longueur.

Elle ne se confond pas non plus avec une table de Cayley quelconque. Une table de Pythagore utilise les entiers de 1 à n et leur multiplication usuelle. Une table de Cayley décrit une loi interne sur un ensemble : chaque résultat doit encore appartenir à cet ensemble, et la table peut ne pas être symétrique.

Enfin, les bâtons de Napier ne sont pas une table fixe à double entrée. Ce sont des réglettes mobiles portant des colonnes adaptées ; leur déplacement permet de composer une multiplication, tandis que la table ordinaire se lit à une intersection.

Une table bornée à 10 ne contient pas directement 12 × 7. Le symptôme est l’absence de la ligne 12 : il faut prolonger la construction ou effectuer la multiplication autrement, et non lire la dernière ligne disponible.

L’ajout de 0 change le bord de la table et fait apparaître une ligne et une colonne entièrement nulles. Cette convention ne contredit pas une table définie de 1 à n ; il faut vérifier les étiquettes avant de comparer deux supports.

Changer de base de numération modifie l’écriture visible, pas les produits eux-mêmes. Par exemple, le nombre décimal 42 s’écrit 101010 en base 2. Il faut donc convertir les écritures dans une même base avant de conclure que deux cases portent des valeurs différentes.

La symétrie d’une table de Pythagore vient de la commutativité de la multiplication des entiers. Pour une autre loi interne, une table non symétrique n’est pas erronée : elle signale que l’ordre des deux éléments peut changer le résultat.

La diagonale conduit naturellement aux carrés parfaits : cette fiche montre comment les reconnaître et relier leur écriture n² à leurs propriétés.

Le glossaire consacré à l’arithmétique replace multiplication, divisibilité et propriétés des entiers dans leur cadre commun.