Carrés magiques de Bachet

Imaginez neuf cases dans un carré et les nombres de 1 à 9 à répartir. Dans un carré magique, chaque ligne, chaque colonne et chacune des deux grandes diagonales donnent le même total. Pour l'ordre 3, ce total vaut 15 : 8 + 1 + 6, 3 + 5 + 7 et 4 + 9 + 2 font tous 15. Bachet désigne ici Claude Gaspard Bachet de Méziriac, qui a étudié et popularisé des méthodes pour construire ces arrangements.

Un carré magique est un tableau carré de nombres dont les sommes sont constantes sur toutes les lignes, toutes les colonnes et les deux diagonales principales. Le nombre de lignes, noté n après avoir été appelé « ordre du carré », détermine sa taille, qui est n × n. Dans le cas classique où les entiers de 1 à n² sont utilisés une seule fois, la constante magique est la somme commune $n(n^2+1)\mathrm{/}2n(n^2+1)/2$.

Cette formule s'applique à cette suite complète d'entiers ; elle ne définit pas à elle seule tous les carrés magiques possibles. Des nombres différents peuvent être employés si les sommes restent égales, et la constante dépend alors des valeurs choisies. Pour l'ordre 3 avec les entiers de 1 à 9, la constante vaut exactement 15. Le carré d'ordre 3 est unique à symétries et rotations près, c'est-à-dire que ses autres présentations s'obtiennent par ces transformations.

Le mot « principale » distingue les diagonales qui relient deux coins opposés du tableau. Les autres diagonales ne sont pas concernées par la définition donnée ici.

Considérons le carré d'ordre 3 suivant, construit avec les entiers de 1 à 9 : 8, 1, 6 sur la première ligne ; 3, 5, 7 sur la deuxième ; 4, 9, 2 sur la troisième.

Données : ordre n = 3 ; plus petit entier = 1 ; plus grand entier = 9 ; centre = 5.

La constante magique se calcule avec n(n² + 1)/2.
1. 3² = 9.
2. 9 + 1 = 10.
3. 3 × 10 = 30.
4. 30 ÷ 2 = 15.

Le résultat attendu est donc une constante magique de 15. Le contrôle consiste à additionner les trois lignes : 8 + 1 + 6 = 15, 3 + 5 + 7 = 15 et 4 + 9 + 2 = 15, puis à vérifier de même les colonnes et les deux diagonales.

Pour vérifier un carré proposé sur papier, additionnez séparément chaque ligne, chaque colonne et les deux diagonales principales. Le carré est magique seulement si tous ces totaux coïncident.

Pour construire un carré d'ordre 3 avec les entiers de 1 à 9, commencez par placer 1 au centre de la ligne du haut. Pour chaque nombre suivant, avancez d'une case vers le haut et d'une case vers la droite, en revenant de l'autre côté si vous sortez de la grille ; si la case est déjà occupée, placez plutôt le nombre juste sous le précédent. On obtient ainsi 8, 1, 6 ; 3, 5, 7 ; 4, 9, 2. La formule donne d'abord la cible : 15.

Pour une grille qui impose plutôt des régions, des chiffres non répétés ou des règles de voisinage, utilisez la règle propre à cette grille. Le critère des sommes égales ne suffit pas à la qualifier de la même façon.

Un carré magique additif ne doit pas être confondu avec un carré magique multiplicatif. Le premier exige une somme identique sur chaque ligne, colonne et diagonale principale ; le second exige un produit identique. Le carré 3 × 3 contenant 8, 1, 6, puis 3, 5, 7, puis 4, 9, 2 tranche immédiatement : ses lignes font 15, mais leurs produits valent respectivement 48, 105 et 72.

Le seuil d'ordre 1 est un cas dégénéré : une seule case contient le seul entier 1, et la constante vaut 1. Il satisfait formellement les sommes, mais ne présente ni ligne de plusieurs cases ni diagonale à comparer. Il faut donc préciser l'ordre avant de parler de construction ou d'unicité.

La formule n(n² + 1)/2 suppose que le tableau contient exactement une fois chaque entier de 1 à n². Si des nombres sont répétés, omis ou remplacés, le total ne se déduit plus de cette formule ; il faut additionner la collection effectivement utilisée et diviser sa somme par n lorsque chaque ligne contient n cases.

Une grille dont toutes les lignes et colonnes ont la même somme, mais dont une diagonale principale échoue, n'est pas un carré magique au sens de cette fiche. Le symptôme est visible dans le contrôle final : les huit sommes attendues pour l'ordre 3 ne sont pas toutes égales à 15.

Le glossaire du carré magique élargit la définition et les propriétés générales de l'objet, tandis que cette fiche met l'accent sur Bachet, la constante et l'exemple d'ordre 3.

L'article Construire son premier carré magique transforme le critère des sommes égales en démarche de construction guidée, pour prolonger la vérification par une méthode.