constante magique

Prenez une grille de trois cases sur trois contenant les nombres de 1 à 9. Si chaque ligne, chaque colonne et chacune des deux grandes diagonales donne 15, alors 15 est sa constante magique.

Cette valeur agit comme une cible commune pour tous les alignements à contrôler. Elle ne dépend pas de la ligne choisie : dans un même carré magique, tous les chemins exigés aboutissent à la même somme.

Un carré magique d'ordre n possède n lignes et n colonnes. Sa constante magique, aussi appelée somme magique, est la valeur commune obtenue en additionnant les nombres de chacune des n lignes, de chacune des n colonnes et de chacune des deux diagonales principales.

Lorsque le carré est normal, ses n² cases contiennent exactement une fois chacun des entiers de 1 à n². En notant S la constante magique, la somme totale des cases se partage alors entre les n lignes :Cette identité fixe la valeur nécessaire de S pour tout carré magique normal qui existe. Elle donne 15 à l'ordre 3, 34 à l'ordre 4 et 65 à l'ordre 5.

Pour un carré magique qui n'utilise pas exactement les entiers de 1 à n², l'égalité des sommes reste la propriété décisive, mais cette formule ne s'applique plus automatiquement. L'idée d'une somme commune se prolonge aussi aux étoiles magiques, aux cubes magiques et aux hypercubes magiques, avec les alignements propres à chaque figure.

Considérons une grille d'ordre 3 dans laquelle les entiers de 1 à 9 sont utilisés une fois chacun. L'arrangement à contrôler est le suivant :

Données :
ordre du carré : n = 3 ;
nombres placés : les entiers de 1 à 9, chacun une fois ;
nombre de lignes à contrôler : 3 ;
nombre de colonnes à contrôler : 3 ;
nombre de diagonales principales à contrôler : 2.

1. La formule du carré normal donne S = 3 × (3² + 1) ÷ 2 = 15.
2. Les lignes donnent 8 + 1 + 6 = 15, 3 + 5 + 7 = 15 et 4 + 9 + 2 = 15.
3. Les colonnes donnent 8 + 3 + 4 = 15, 1 + 5 + 9 = 15 et 6 + 7 + 2 = 15.
4. Les diagonales principales donnent 8 + 5 + 2 = 15 et 6 + 5 + 4 = 15.

Les huit sommes requises valent donc 15 : la constante magique de ce carré est 15. Un contrôle indépendant consiste à additionner les neuf cases : 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45, puis à vérifier que les trois lignes totalisent aussi 3 × 15 = 45.

Pour contrôler une grille terminée, additionnez séparément ses lignes, ses colonnes et ses deux diagonales principales. Une seule somme différente suffit à écarter le carré magique ; si toutes coïncident, leur valeur commune est la constante magique.

Dans un carré normal, calculez d'abord la somme cible à partir de l'ordre. Pour l'ordre 3, la cible 15 permet de tester chaque alignement sans devoir comparer toutes les sommes deux à deux.

Lorsqu'une case manque, retranchez de la constante les autres valeurs de sa ligne ou de sa colonne. Dans la première ligne de l'exemple, 15 − 8 − 1 = 6 détermine la case restante ; une vérification dans sa colonne doit confirmer ce choix.

La constante magique et l'ordre du carré. L'ordre n compte les cases sur un côté, tandis que la constante S est une somme. Dans l'exemple, l'ordre vaut 3 et la constante vaut 15.

La constante magique et la somme de toutes les cases. La constante concerne un seul alignement exigé. Pour le carré normal d'ordre 3, toutes les cases totalisent 45, alors que chaque ligne, colonne ou diagonale principale totalise 15.

La formule suppose un carré normal. Si les cases ne contiennent pas exactement les entiers de 1 à n², le calcul n(n² + 1) ÷ 2 n'est plus justifié. Il faut alors additionner les valeurs réellement placées et contrôler les alignements.

Une cible calculée ne garantit pas l'existence du carré. À l'ordre 2, la formule donne 5, mais aucun arrangement normal des entiers de 1 à 4 ne rend simultanément magiques les lignes, les colonnes et les diagonales. À l'ordre 1, l'unique case forme le cas trivial de constante 1.

Les lignes seules ne suffisent pas. Trois lignes de somme 15 peuvent masquer une colonne ou une diagonale de somme différente. Le contrôle doit porter sur les trois familles d'alignements prévues par la définition.

Les autres figures ont leurs propres alignements. Étoiles, cubes et hypercubes magiques prolongent l'idée d'une valeur commune, sans reprendre automatiquement la formule du carré normal. Il faut repartir de la définition de la figure considérée.

Le glossaire carré magique replace la somme commune dans la définition complète de la grille et de ses alignements.

L'article Construire son premier carré magique prolonge le calcul de la constante par une démarche de construction.

Le glossaire cube magique montre comment l'idée d'une somme commune se transpose dans un objet à trois dimensions.