carré semi-magique

Imaginez une grille de neuf cases remplie avec les nombres de 1 à 9. Dans la grille numérotée de l'exemple, en additionnant les trois nombres de n'importe quelle ligne, puis ceux de n'importe quelle colonne, on obtient toujours 15. Les diagonales de cette grille donnent pourtant 6 et 12. La grille est donc équilibrée horizontalement et verticalement, mais pas en diagonale : c'est un carré semi-magique.

Un carré semi-magique d'ordre n est une grille carrée de n lignes et n colonnes, dont les cases contiennent des nombres. On note a_ij le nombre placé à l'intersection de la ligne i et de la colonne j. Il existe une même valeur S, appelée constante magique, pour toutes les sommes de lignes et de colonnes.

Les deux diagonales principales ne sont pas toutes deux soumises à la même somme S : pour distinguer le carré semi-magique du carré magique, au moins l'une d'elles doit avoir une autre somme. Les nombres n'ont pas besoin d'être consécutifs ni distincts. Lorsqu'une grille d'ordre n emploie exactement les entiers de 1 à n², sa constante est imposée : $S=\frac{n(n^2+1)}{2}S=\backslash frac\{n(n^2+1)\}\{2\}$.

On considère une grille d'ordre 3 contenant une fois chacun des nombres de 1 à 9. La constante attendue est 15, car la somme totale 45 doit se répartir également entre trois lignes.

1. Les lignes donnent 3 + 5 + 7 = 15, 8 + 1 + 6 = 15 et 4 + 9 + 2 = 15.
2. Les colonnes donnent 3 + 8 + 4 = 15, 5 + 1 + 9 = 15 et 7 + 6 + 2 = 15.
3. La diagonale descendante donne 3 + 1 + 2 = 6.
4. L'autre diagonale donne 7 + 1 + 4 = 12.

Toutes les lignes et toutes les colonnes ont donc la constante 15, mais ni 6 ni 12 ne lui est égal. Le contrôle refaisable consiste à retrouver six sommes égales à 15, puis les deux sommes diagonales différentes de 15. La grille est bien semi-magique selon la définition de cette fiche.

Pour identifier une grille proposée dans un jeu ou un exercice, additionnez d'abord chaque ligne, puis chaque colonne. Une seule somme différente suffit à écarter le qualificatif de carré semi-magique.

Lorsque les six sommes de la grille 3 × 3 valent 15, contrôlez séparément les deux diagonales. Si elles valent aussi 15, le terme précis est carré magique ; si elles valent 6 et 12 comme dans l'exemple, la grille est semi-magique.

Pour vérifier une construction plus grande sans vous perdre, notez la somme commune après la première ligne. Comparez ensuite chaque autre ligne et chaque colonne à ce repère, avant d'examiner les diagonales.

Carré magique. Dans un carré magique, les lignes, les colonnes et les deux diagonales principales ont toutes la même somme. Le test décisif porte donc sur les diagonales : la grille de l'exemple est semi-magique parce qu'elles valent 6 et 12, et non 15.

Une seule famille de sommes ne suffit pas. Des lignes toutes égales ne prouvent rien tant que chaque colonne n'a pas été contrôlée, et réciproquement. Il faut comparer les n sommes de lignes et les n sommes de colonnes à une même constante.

Une diagonale peut réussir par coïncidence. Le carré reste semi-magique si l'autre diagonale n'atteint pas la constante. Selon une convention plus large, « semi-magique » signifie seulement que les lignes et les colonnes sont contraintes ; un carré magique en devient alors un cas particulier. Il faut donc annoncer la convention employée.

L'ordre 1 est impossible si l'on exclut les carrés magiques. Son unique case forme à la fois la seule ligne, la seule colonne et les deux diagonales ; toutes ces sommes coïncident nécessairement. Dès l'ordre 2, l'obstacle disparaît : la grille formée par les lignes « 1, 2 » et « 2, 1 » a pour constante 3, avec des diagonales de sommes 2 et 4.

Les entiers consécutifs sont une variante, pas une obligation. La formule de la constante donnée plus haut suppose précisément l'emploi de tous les entiers de 1 à n². Pour d'autres valeurs, la constante doit être calculée à partir de la grille.

Le glossaire carré magique précise la condition supplémentaire sur les diagonales et permet de comparer directement les deux notions.

L'article Construire son premier carré magique prolonge la vérification par une construction guidée où lignes, colonnes et diagonales s'équilibrent.