carré supermagique

Imaginez une grille de nombres où chaque ligne, chaque colonne et les deux diagonales principales donnent la même somme. Dans un carré supermagique, quatre cases voisines qui dessinent un petit carré 2×2 donnent aussi cette somme. Dans le carré de Dürer, la constante vaut 34 : les quatre cases du coin supérieur gauche, par exemple, font 16 + 3 + 5 + 10 = 34. Cette règle supplémentaire oblige les nombres à se répartir avec une grande régularité.

Un carré supermagique est d’abord un carré magique : dans une grille carrée, les sommes de chaque ligne, de chaque colonne et des deux diagonales principales sont égales à une même constante, appelée constante magique. La propriété supermagique ajoute une exigence locale : chaque groupe de quatre cases dont les positions forment un carré 2×2 doit avoir cette même somme. Les cases doivent donc être contiguës horizontalement et verticalement ; quatre nombres choisis au hasard dans la grille ne constituent pas nécessairement un tel groupe. La condition s’applique à toutes les positions 2×2 admissibles dans la grille, y compris celles des coins et celle du centre lorsqu’elle existe. Elle est plus contraignante que la seule règle des lignes, des colonnes et des diagonales principales. Pour le carré de Dürer, qui est d’ordre 4, la constante magique est 34 : les quatre sous-carrés 2×2 retenus dans la partition illustrée ont chacun cette somme. Les quatre cases situées aux coins de l’ensemble de la grille et les quatre cases du carré central donnent également 34, ce qui fournit des vérifications supplémentaires sans constituer l’inventaire général des positions admissibles.

Considérons le carré de Dürer, disposé en quatre lignes et quatre colonnes. Les données utiles sont les suivantes : ligne 1 : 16, 3, 2, 13 ; ligne 2 : 5, 10, 11, 8 ; ligne 3 : 9, 6, 7, 12 ; ligne 4 : 4, 15, 14, 1.
La première ligne donne la constante magique : 16 + 3 + 2 + 13 = 34. Les quatre colonnes et les deux diagonales principales donnent également 34.
La partition illustrée permet ensuite de calculer quatre sous-carrés 2×2 : supérieur gauche, 16 + 3 + 5 + 10 = 34 ; supérieur droit, 2 + 13 + 11 + 8 = 34 ; inférieur gauche, 9 + 6 + 4 + 15 = 34 ; inférieur droit, 7 + 12 + 14 + 1 = 34. Ces quatre calculs illustrent la forme recherchée, mais ne couvrent pas toutes les positions 2×2 admissibles. Par exemple, le sous-carré formé par 3, 2, 10 et 11 vaut 26 : le carré de Dürer n’est donc pas supermagique au sens général. La définition demande de contrôler toutes les positions 2×2 admissibles selon la convention retenue.

Pour tester une grille candidate, on commence par calculer la somme commune de ses lignes, de ses colonnes et de ses deux diagonales principales. On additionne ensuite les quatre cases de chaque position 2×2 contiguë. La grille mérite le qualificatif de supermagique seulement si toutes ces sommes locales coïncident avec la constante magique.

Dans une activité de construction ou de jeu, la règle des sous-carrés 2×2 sert de contrôle rapide après le contrôle des lignes, des colonnes et des diagonales principales. Si une somme locale diffère, il faut corriger la répartition des nombres ; une simple vérification des lignes ne suffit pas.

Un carré magique ordinaire impose des sommes égales sur les lignes, les colonnes et les deux diagonales principales, tandis qu’un carré supermagique ajoute le test de toutes les positions 2×2. Une grille qui réussit les lignes, les colonnes et les deux diagonales principales mais dont un seul sous-carré 2×2 ne vaut pas la constante est magique, mais elle n’est pas supermagique. Le carré de Dürer réussit le test du carré magique avec la constante 34, mais il n’est pas supermagique au sens général : le sous-carré 2×2 formé par 3, 2, 10 et 11 vaut 26.

Le mot « tout » porte ici sur les groupes de quatre cases qui forment réellement un carré 2×2 contigu. Il ne signifie pas que toute sélection de quatre cases, même dispersées ou alignées, doit avoir la constante magique. Le bon réflexe consiste à vérifier la forme géométrique avant d’additionner.

Dans le carré magique de Dürer, d’ordre 4, les lignes, les colonnes et les deux diagonales principales donnent 34 ; il existe aussi quatre positions 2×2 contiguës, chacune à 34. Les quatre coins et le carré central donnent également 34, mais ces vérifications supplémentaires ne remplacent pas le contrôle de toutes les positions 2×2 admissibles. Pour une autre taille ou une autre convention de carré supermagique, il faut préciser la définition retenue avant de conclure.

Pour prolonger la construction et les vérifications de carrés magiques, consultez Construire son premier carré magique. Cette approche permet de passer de la reconnaissance d’une grille à la recherche méthodique de configurations qui respectent une somme commune.