méthode de La Hire - carré magique -

Imaginez deux grilles de 4 × 4 cases posées l’une sur l’autre. Dans chaque position, on lit un petit nombre dans la première grille et un autre dans la seconde. Ces deux lectures forment un couple.

La méthode attribuée à Philippe de La Hire transforme ensuite chaque couple en un nombre unique. Si les grilles auxiliaires ont été correctement agencées, les nombres obtenus sont tous différents et leurs sommes s’équilibrent sur les lignes, les colonnes et les deux grandes diagonales.

La méthode de La Hire est une construction par superposition. Pour un ordre pair noté n, elle prépare deux grilles auxiliaires de n lignes et n colonnes, puis combine les deux valeurs qui occupent chaque case. Les règles de remplissage doivent garantir à la fois l’équilibre des sommes utiles et l’unicité des couples superposés.

Dans le cas normal d’ordre 4 utilisé ici, les valeurs auxiliaires vont de 0 à 3. Si A désigne la première valeur et B la seconde dans une même case, la valeur finale C est donnée par $C=4A+B+1C=4A+B+1$. Les 16 couples possibles doivent apparaître une fois chacun. La grille finale contient alors exactement les entiers de 1 à 16.

Un carré magique exige une même somme sur chaque ligne, chaque colonne et chacune des deux diagonales reliant des coins opposés. Pour un carré normal d’ordre n contenant les entiers de 1 à n², cette somme commune vaut $M=\frac{n(n^2+1)}{2}M=\backslash frac\{n(n^2+1)\}\{2\}$. À l’ordre 4, elle vaut 34. Une superposition arbitraire ne suffit donc pas : les deux grilles auxiliaires doivent satisfaire les contraintes de la construction.

Pour reproduire le patron d’ordre 4, on procède ainsi :
1. Recopier les deux grilles auxiliaires A et B fournies dans l’exemple, avec leurs valeurs 0, 1, 2 et 3.
2. Vérifier que chaque valeur apparaît quatre fois, que les 16 couples superposés sont distincts et que chaque ligne, colonne et grande diagonale totalise 6 dans chaque grille.
3. Remplacer chaque couple par $C=4A+B+1C=4A+B+1$.
4. Contrôler que les nombres 1 à 16 apparaissent une fois et que les dix sommes requises valent 34.

La construction présentée s’applique à une grille normale d’ordre 4. Elle nécessite deux tableaux 4 × 4 déjà organisés : leurs entrées appartiennent à {0, 1, 2, 3}, leurs lignes, colonnes et grandes diagonales ont la somme 6, et chaque couple formé par superposition est unique. Ces conditions donnent les 16 entiers attendus et transmettent l’équilibre des sommes à la grille finale.

Le seul équilibre des deux auxiliaires ne garantit pas l’unicité : si les mêmes couples se répètent, la grille finale répète aussi des nombres. À l’ordre 2, un carré normal avec quatre entiers distincts ne peut pas satisfaire simultanément toutes les sommes ; il faut donc changer d’ordre plutôt que forcer cette recette. Pour d’autres ordres pairs, les patrons auxiliaires doivent être établis et vérifiés séparément.

On construit un carré normal d’ordre 4. Les données sont deux grilles auxiliaires A et B, dont les entrées vont de 0 à 3. Dans chacune, toutes les lignes, colonnes et grandes diagonales totalisent 6. Les 16 couples superposés sont distincts.

1. On pose les deux grilles :

2. Dans chaque case, on applique $C=4A+B+1C=4A+B+1$. La case supérieure gauche donne 4 × 3 + 3 + 1 = 16 ; sa voisine donne 4 × 0 + 1 + 1 = 2.

3. En répétant ce calcul, on obtient :

4. Le contrôle est refaisable : la première ligne vaut 16 + 2 + 3 + 13 = 34, la première colonne vaut 16 + 5 + 9 + 4 = 34 et la diagonale opposée vaut 13 + 10 + 7 + 4 = 34. Les autres lignes, colonnes et la seconde diagonale donnent aussi 34. Une représentation des trois grilles rend visibles la superposition et le résultat case par case.

Pour reproduire à la main le carré d’ordre 4 de l’exemple, on recopie les deux grilles auxiliaires fournies, puis on calcule chaque case finale avec la même règle. Cette organisation évite de chercher directement seize nombres sous toutes les contraintes à la fois.

Pour contrôler une construction, on commence par rechercher les nombres manquants ou répétés. On additionne ensuite les quatre lignes, les quatre colonnes et les deux grandes diagonales. Si un couple auxiliaire est répété, il vaut mieux corriger les grilles avant de recalculer le carré entier.

Pour un ordre impair, une méthode conçue pour les ordres impairs est généralement plus directe. Le critère observable est la parité de l’ordre : la superposition décrite ici illustre le cas pair d’ordre 4 et ne doit pas être transplantée sans nouveau patron.

Avec un carré latin. Dans un carré latin, chaque symbole apparaît une fois par ligne et par colonne ; l’égalité des sommes diagonales n’en est pas la propriété définissante. La grille auxiliaire A de l’exemple répète des valeurs sur une ligne : elle n’est donc pas un carré latin, bien qu’elle participe à un carré magique.

Avec la méthode siamoise. Celle-ci place successivement les nombres selon un déplacement périodique et vise les ordres impairs. Un carré de 3 × 3 relève de ce cadre, tandis que l’exemple de 4 × 4 repose sur deux grilles superposées.

Avec un carré semi-magique. Un carré semi-magique équilibre les lignes et les colonnes sans exiger les deux grandes diagonales. Si une grille 4 × 4 donne 34 partout sauf sur une diagonale, elle n’est pas magique au sens retenu ici.

Ordre pair ne signifie pas patron unique. L’ordre 4 valide le patron exposé, mais un autre ordre pair demande ses propres règles auxiliaires. Le symptôme d’une transposition incorrecte est une répétition de couples ou une somme qui varie ; il faut établir puis vérifier un patron adapté.

L’ordre 2 est un cas impossible. Avec les entiers distincts de 1 à 4, les contraintes sur les lignes, colonnes et diagonales ne peuvent pas toutes être satisfaites. Si une prétendue solution 2 × 2 apparaît, au moins un nombre se répète ou deux sommes diffèrent ; on choisit un ordre supérieur.

Une somme correcte ne suffit pas. Des lignes totalisant toutes 34 peuvent masquer un doublon et un entier absent. Il faut contrôler séparément l’ensemble des valeurs, les quatre colonnes et les deux grandes diagonales, puis seulement conclure que le carré est magique et normal.

La fiche carré magique replace cette construction parmi les propriétés générales de ces tableaux et précise les contrôles qui définissent l’objet obtenu.