méthode Durupt - carré magique -

Imaginez une grille de cinq lignes et cinq colonnes à remplir avec les nombres de 1 à 25. Le but est que chaque ligne, chaque colonne et les deux grandes diagonales donnent le même total.

La méthode Durupt transforme ce défi en parcours réglé : chaque nombre reçoit une case selon une règle de déplacement et les retours dans la grille sont prévus. On ne devine donc pas les nombres ; on les place dans un ordre contrôlé, puis on vérifie les sommes.

Un carré magique normal d'ordre n est une grille carrée de n lignes et n colonnes contenant une fois chacun les entiers de 1 à n². La constante magique est la somme commune de chaque ligne, de chaque colonne et des deux diagonales principales. Pour un carré normal, la somme de tous les nombres vaut n²(n² + 1)/2 ; comme elle se répartit entre n lignes, la constante vaut :

La méthode Durupt est une procédure de construction destinée aux ordres impairs, c'est-à-dire aux valeurs n=2k+1. Elle organise le remplissage des cases à partir d'une progression régulière, avec des reports lorsque le parcours rencontre une case déjà occupée ou un bord. Le résultat attendu est un carré dont les n² entrées sont distinctes et dont les sommes prescrites coïncident.

Dans l'exemple d'ordre 5, les nombres utilisés sont 1 à 25 et la constante magique est S=65. L'ordre impair est une condition de cette construction ; les ordres pairs demandent d'autres procédés ou une adaptation démontrée séparément.

Si n=2k+1 est impair, on place 1 dans la case centrale de la première ligne, puis on déplace chaque nombre suivant d'une ligne vers le haut et d'une colonne vers la droite. Les sorties par un bord sont traitées par retour cyclique sur le bord opposé. Si la case ainsi atteinte est déjà occupée, on inscrit le nombre suivant dans la case située une ligne plus bas que la case contenant le nombre précédent ; cette règle de collision prime sur le déplacement diagonal. Alors les nombres de 1 à n² sont placés une seule fois et forment un carré magique normal.

Pour n=5, le contrôle porte sur 25 cases et la constante attendue est : $S=\frac{5(5^2+1)}{2}=65S=\backslash frac\{5(5^2+1)\}\{2\}=65$. Chaque ligne, chaque colonne et chaque diagonale principale doit donc totaliser 65.

La construction s'applique ici à un carré d'ordre impair n=2k+1, avec k entier positif. Les cases forment une grille n×n, les entrées sont les entiers consécutifs de 1 à n² et une case ne peut recevoir qu'un seul nombre.

Le parcours doit préciser une case de départ, un sens de déplacement et une règle de report. Sans ces données, l'expression « méthode Durupt » ne détermine pas à elle seule une grille unique.

Un ordre pair est hors des hypothèses de cette version : n=4 ne vérifie pas n=2k+1 et ne constitue donc pas un contre-exemple au résultat annoncé. Il faut alors employer une construction adaptée aux carrés d'ordre pair, au lieu de prolonger mécaniquement les reports de l'ordre impair.

Construisons un carré normal d'ordre 5 avec les entiers de 1 à 25. Pour suivre le résultat, on adopte la grille produite par le parcours impair :

Données.
Ordre : n=5.
Nombres à placer : 1 à 25.
Constante attendue : S=65.
Départ : inscrire 1 dans la case centrale de la première ligne, en ligne 1 colonne 3.
Règle : pour chaque nombre suivant, avancer d'une ligne vers le haut et d'une colonne vers la droite ; si un bord est franchi, revenir par le bord opposé. Si la case atteinte est déjà occupée, inscrire le nombre suivant une ligne plus bas que la case du nombre précédent, puis reprendre le déplacement diagonal.

Étape 1. Le remplissage ordonné donne les cinq lignes suivantes :

Étape 2. La première ligne donne 17+24+1+8+15=65, et la première colonne donne 17+23+4+10+11=65. Les autres lignes et colonnes se contrôlent de la même manière.

Contrôle. La diagonale descendante vaut 17+5+13+21+9=65 et l'autre diagonale vaut 15+14+13+12+11=65. Les nombres 1 à 25 apparaissent tous une seule fois : le carré satisfait donc les conditions annoncées.

Pour construire un carré d'ordre 5, préparez une grille vide et la suite 1 à 25. Notez la case de départ et le déplacement choisi avant de commencer ; cette trace évite de modifier la règle en cours de route.

À chaque nouveau nombre, regardez la case visée. Si elle est libre et reste dans la grille, le parcours y place le nombre ; sinon, la règle de report fournit la case suivante.

À la fin, vérifiez d'abord que chaque entier apparaît une fois, puis additionnez les lignes, les colonnes et les deux diagonales. Pour l'ordre 5, toute somme doit être 65.

Carré magique et carré semi-magique. Un carré semi-magique impose la même somme aux lignes et aux colonnes, mais pas nécessairement aux diagonales principales. Le test des deux diagonales sépare les deux notions.

Carré magique et tableau seulement équilibré. Une grille peut avoir des lignes de même somme sans contenir les entiers 1 à n² une fois chacun. La normalité concerne les entrées ; la magie concerne les sommes.

Méthode Durupt et méthode de remplissage quelconque. Obtenir un carré par essais successifs ne décrit pas un algorithme. Une méthode doit fixer des règles reproductibles de déplacement et de report.

Ordre pair. La condition n=2k+1 exclut n=4, n=6 et tous les ordres pairs. Le symptôme est un parcours qui ne remplit pas la grille avec la propriété attendue ; il faut choisir une méthode pour ordres pairs.

Case déjà occupée. Continuer le déplacement diagonal malgré une collision écrase un nombre ou crée un doublon. Le report doit être appliqué avant l'inscription du nombre suivant.

Retour par le bord. Pour reproduire l'exemple, une sortie par le haut, le bas ou un côté est traitée par retour cyclique sur le bord opposé. Ce retour ne doit pas être confondu avec le report de collision : le report intervient seulement lorsque la case atteinte après le déplacement diagonal, éventuellement après retour cyclique, est déjà occupée.

Constante magique. La valeur 65 n'est vraie que pour le carré normal d'ordre 5 utilisant 1 à 25. Avec d'autres entiers, les sommes peuvent rester constantes, mais la formule et la valeur changent.

Pour situer cette construction dans l'ensemble des carrés magiques, consultez la fiche « carré magique » : elle précise la constante magique et les variantes de l'objet.

La méthode devient également un objet algorithmique : on peut formaliser les coordonnées de chaque case, prouver l'absence de doublons et vérifier les sommes par un programme. Cette vérification automatise le contrôle sans remplacer la règle mathématique.

L'article « Construire son premier carré magique » prolonge l'approche par un parcours guidé, utile pour comparer plusieurs procédés de construction.