construction d'un carré magique

Imaginez neuf cases et les nombres de 1 à 9. Il faut les placer une seule fois chacun pour que toutes les rangées, toutes les colonnes et les deux diagonales donnent 15.

Une méthode de construction évite de chercher au hasard. Pour un carré de côté impair, la méthode siamoise fait avancer les nombres en diagonale, avec un retour de l’autre côté du carré lorsqu’un bord est franchi. Une case déjà occupée déclenche un autre déplacement.

La construction d’un carré magique est une procédure qui remplit une grille carrée d’ordre n, c’est-à-dire de n lignes et n colonnes, de façon que les lignes, les colonnes et les deux diagonales principales aient une même somme. Les méthodes changent selon la parité de l’ordre.

Pour un ordre impair, les procédés classiques comprennent le damier crénelé de Bachet de Mézirac, daté de 1612, la méthode siamoise de La Loubère, datée de 1691, le losange publié par John Horton Conway et une méthode fondée sur le déplacement du cavalier aux échecs. Pour un ordre divisible par 4, des placements symétriques sont disponibles. Pour un ordre pair non divisible par 4, la méthode LUX de Conway s’applique. Les permutations transforment un carré déjà construit et ne sont valides que si elles préservent les sommes des lignes, des colonnes et des deux diagonales.

La méthode de Benjamin Franklin traite notamment l’ordre 8. La méthode de Strachey produit de nombreux carrés d’ordre pair. Enfin, certaines permutations de lignes et de colonnes ainsi que la méthode des enceintes attribuée à Frénicle de Bessy engendrent de nouveaux carrés à partir de carrés déjà construits.

Pour appliquer la méthode siamoise à un ordre impair, placez 1 au milieu de la première ligne. Pour chaque entier suivant, montez d’une ligne et avancez d’une colonne vers la droite. Si vous sortez de la grille, reprenez du côté opposé. Si la case visée est déjà occupée, placez plutôt le nouvel entier juste sous le précédent. Arrêtez-vous lorsque les n² cases sont remplies.

Le choix de la procédure exige d’abord l’ordre n de la grille. La méthode siamoise demande un ordre impair. Les méthodes de placements symétriques visent les ordres divisibles par 4. La méthode LUX vise les ordres pairs qui ne sont pas divisibles par 4. Les permutations, elles, transforment un carré déjà construit et ne conviennent que si elles préservent les sommes des lignes, des colonnes et des deux diagonales.

Ainsi, l’ordre 4 ne convient pas à la méthode siamoise : son centre de première ligne n’est pas une case unique et la règle n’est pas celle prévue pour ce cas. Il faut employer une construction adaptée aux multiples de 4. À l’ordre 6, LUX est l’alternative indiquée, car 6 est pair sans être divisible par 4.

Construisons un carré d’ordre 3 par la méthode siamoise. Les données sont une grille de 3 lignes sur 3 colonnes, les entiers de 1 à 9 et le déplacement d’une case vers le haut et la droite, avec report au bord.

1. Placez 1 au centre de la première ligne.
2. Le report place 2 en bas à droite, puis 3 au milieu à gauche.
3. La case visée après 3 contient déjà 1 : placez 4 juste sous 3.
4. Continuez de même pour placer 5 et 6. Après ce dernier, la case visée est occupée : 7 va juste sous 6.
5. Placez enfin 8 puis 9 selon le déplacement diagonal.

Le carré obtenu est :Le contrôle est direct : 8 + 1 + 6 = 15 pour la première ligne, 8 + 3 + 4 = 15 pour la première colonne et 8 + 5 + 2 = 15 pour une diagonale. Les autres lignes, colonnes et l’autre diagonale donnent aussi 15.

Pour une grille d’ordre 3, 5 ou 7, la méthode siamoise fournit une règle régulière : le choix se fait en constatant que l’ordre est impair.

Pour une grille d’ordre 4, le critère observable est la divisibilité par 4. On choisit alors un procédé de placements symétriques plutôt que la méthode siamoise. Une permutation ne sert qu’à transformer un carré déjà construit et exige de vérifier les lignes, les colonnes et les deux diagonales.

Pour une grille d’ordre 6, la parité ne suffit pas : 6 n’est pas divisible par 4. La méthode LUX de Conway correspond à ce cas. À l’ordre 8, la méthode de Franklin fournit une autre construction particulière.

Méthode siamoise et méthode du cavalier. Toutes deux peuvent construire des carrés d’ordre impair, mais leur déplacement les distingue. La première suit une diagonale avec report ; la seconde imite le saut du cavalier aux échecs.

Construire et engendrer un nouveau carré. Une construction comme la méthode siamoise remplit une grille à partir des entiers à placer. Une permutation ou la méthode des enceintes part au contraire d’un carré déjà construit pour en obtenir un autre.

Pair ne désigne pas un cas unique. À l’ordre 4, 8 ou 12, l’ordre est divisible par 4. À l’ordre 6 ou 10, il est pair sans être divisible par 4. Le symptôme d’une mauvaise sélection est l’emploi d’une règle conçue pour l’autre famille ; il faut tester la divisibilité par 4 avant de choisir.

Le report n’est pas un arrêt. Dans la méthode siamoise, sortir par le haut ou par la droite signifie reprendre sur le bord opposé. Interrompre le déplacement au bord décale les placements ; il faut appliquer ce retour avant de vérifier si la case est occupée.

Toute permutation ne suffit pas. Après une permutation de lignes ou de colonnes, le test reste l’égalité des sommes sur chaque ligne, chaque colonne et les deux diagonales. Si l’une diffère, la transformation choisie n’a pas conservé le caractère magique et doit être écartée.

carré magique — Retrouvez la définition de l’objet obtenu et le critère commun aux lignes, colonnes et diagonales.

Construire son premier carré magique — Prolongez la procédure par une réalisation complète destinée à une première construction.