carré magique de Franklin

Imaginez une grille de 8 lignes et 8 colonnes dans laquelle les nombres de 1 à 64 sont employés une seule fois. Dans le carré de Franklin, additionner les huit nombres d'une ligne ou d'une colonne donne toujours 260.

La grille cache davantage de régularités : des diagonales brisées totalisent aussi 260, et plusieurs groupes symétriques de quatre cases donnent 130, soit la moitié. En revanche, les deux grandes diagonales ordinaires ne fournissent pas nécessairement 260.

Le carré magique de Franklin décrit dans la source est un tableau carré d'ordre 8, donc formé de 64 cases. Chacun des entiers consécutifs de 1 à 64 y apparaît une fois. La somme totale de ces entiers vaut 2080 ; comme elle se répartit entre huit lignes, la constante commune est 260 :Dans cette écriture, la lettre M désigne la constante du carré.

Chaque ligne et chaque colonne a pour somme M. Selon la caractérisation fournie, les diagonales brisées ont également cette somme, d'où le qualificatif semi-panmagique. Les deux diagonales principales constituent la limite explicite : elles ne vérifient pas cette propriété. La demi-constante vaut M/2 = 130 et se retrouve dans de nombreuses dispositions symétriques de quatre éléments.

Le nom peut aussi être étendu à un carré magique ou semi-magique d'ordre n. Dans cet emploi, deux traits sont requis par la source : une abondance de configurations à somme constante et des groupes symétriques de quatre éléments faisant apparaître la demi-constante. La procédure associée est appelée méthode de Benjamin Franklin.

Partons des données du carré 8×8 pour retrouver les deux valeurs qui servent ensuite à contrôler une disposition. Ce calcul ne place pas encore les nombres dans les cases.

Données :
64 cases, réparties en 8 lignes et 8 colonnes ;
les entiers consécutifs de 1 à 64, utilisés une fois ;
une même somme visée pour chacune des 8 lignes.

1. Additionner les entiers de 1 à 64 :2. Répartir ce total entre les huit lignes : 2080 ÷ 8 = 260.
3. Diviser cette constante par deux : 260 ÷ 2 = 130.
4. Contrôler les valeurs obtenues : 8 × 260 = 2080 et 2 × 130 = 260.

La constante nécessaire est donc 260 et sa moitié 130. Pour valider une grille particulière, il reste à vérifier séparément chaque ligne, chaque colonne, les diagonales brisées annoncées et les groupes symétriques concernés.

Pour contrôler une grille proposée comme carré de Franklin, commencez par vérifier que chaque entier de 1 à 64 apparaît exactement une fois. Si un nombre manque ou se répète, le calcul des sommes ne suffit pas à sauver la grille.

Additionnez ensuite les cases ligne par ligne et colonne par colonne. Chaque total doit être 260. Un contrôle du total général, 2080, repère une erreur d'ensemble, tandis que les sommes de lignes et de colonnes localisent la zone à reprendre.

Les contrôles précédents sont réalisables à partir de toute grille proposée. Pour examiner les propriétés supplémentaires annoncées — diagonales brisées de somme 260 et groupes symétriques de quatre éléments de somme 130 — il faut aussi disposer d'un schéma ou d'une règle qui repère précisément les cases concernées. Sans ce repérage, la fiche permet de retrouver les constantes, mais pas de valider ces configurations ; la réussite des seules lignes et colonnes établit seulement que la grille est semi-magique.

Un carré magique impose la même somme aux lignes, aux colonnes et aux deux diagonales principales. Dans le carré 8×8 de Franklin décrit ici, les diagonales principales ne donnent pas 260 : ce test sépare les deux objets.

Un carré semi-magique garantit la constante commune sur les lignes et les colonnes. Le carré de Franklin ajoute les régularités précisées dans la source, notamment les diagonales brisées à 260 et plusieurs configurations symétriques à 130.

La méthode de Benjamin Franklin désigne la construction associée, tandis que le carré de Franklin désigne le résultat et ses propriétés. Une procédure annoncée ne dispense donc pas de contrôler les sommes de la grille obtenue.

La valeur 260 ne suffit pas. Elle découle nécessairement de l'emploi des entiers de 1 à 64 dans huit lignes, mais une grille peut avoir ce bon total théorique sans respecter chaque somme requise. Il faut refaire les contrôles configuration par configuration.

Les diagonales principales sont un contre-test. Les lignes, colonnes et diagonales brisées annoncées atteignent 260, mais les deux diagonales ordinaires ne satisfont pas cette propriété. Exiger 260 sur ces deux diagonales reviendrait à tester un carré magique au sens habituel.

La demi-constante porte sur des configurations précises. Quatre nombres dont la somme vaut 130 ne suffisent pas : leur disposition symétrique fait partie du phénomène décrit. Il faut donc vérifier à la fois la somme et la position des quatre cases.

L'emploi étendu du nom demande deux propriétés. Pour un ordre n, l'abondance de sommes constantes ne suffit pas seule ; la source exige aussi la demi-constante dans des dispositions symétriques de quatre éléments. Sans ces deux vérifications, mieux vaut décrire séparément les propriétés observées.

Le glossaire carré magique précise le rôle des deux diagonales principales dans la définition usuelle.

Le glossaire carré semi-magique isole la condition commune aux lignes et aux colonnes, point de départ du carré de Franklin.