carré multimagique

Imaginez une grille carrée dont chaque ligne, chaque colonne et les deux grandes diagonales donnent la même somme. On remplace ensuite chaque nombre par son carré et on recommence les additions. Si les sommes coïncident encore, la grille franchit un deuxième niveau : elle est bimagique.

Un carré multimagique prolonge ce jeu de résistance. Il reste magique après plusieurs puissances successives, jusqu'au degré annoncé. La position des nombres ne change jamais ; seules leurs valeurs sont élevées à une puissance.

Un carré p-multimagique, aussi appelé carré satanique, est d'abord un carré magique. Son ordre, noté n, est le nombre de cases d'une ligne. Son degré multimagique, noté p, indique jusqu'à quelle puissance entière le test doit réussir. Pour chaque exposant q compris entre 1 et p, la somme des puissances q-ièmes est la même sur chaque ligne, chaque colonne et chacune des deux diagonales principales.

Si a_ij désigne l'entrée de la ligne i et de la colonne j, et si M_q désigne la constante commune propre à la puissance q, les conditions s'écrivent :La constante M_q peut changer avec q ; ce sont les lignes comparées à puissance fixée qui doivent coïncider.

Le degré p = 2 donne un carré bimagique. Un carré trimagique doit aussi réussir pour les cubes. Les carrés cabalistiques forment un cas particulier : ils sont à la fois multimagiques et panmagiques.

Prenons une grille d'ordre 3 contenant les neuf valeurs 1 à 9. Nous allons déterminer si elle est au moins bimagique. Les données sont les trois lignes, les trois colonnes, les deux diagonales principales et les exposants 1 puis 2.

1. Avec l'exposant 1, chaque ligne vaut 15 : 8 + 1 + 6 = 15, 3 + 5 + 7 = 15 et 4 + 9 + 2 = 15. Les colonnes et les deux diagonales valent aussi 15. La grille est donc magique.

2. Avec l'exposant 2, la première ligne donne 8² + 1² + 6² = 64 + 1 + 36 = 101.

3. La deuxième ligne donne 3² + 5² + 7² = 9 + 25 + 49 = 83. Comme 101 ≠ 83, le test s'arrête : aucune constante M₂ ne convient à toutes les lignes.

La grille est magique, mais elle n'est pas bimagique et ne peut donc être p-multimagique pour aucun degré p au moins égal à 2. Le contrôle est refaisable en comparant simplement ces deux sommes de carrés.

Pour contrôler une grille proposée, on commence toujours avec les valeurs initiales. Dès que la somme d'une ligne, d'une colonne ou d'une diagonale diffère de celle d'au moins une autre ligne, colonne ou diagonale testée, la grille n'est pas magique et le test des puissances devient inutile.

Si le premier test réussit, on élève chaque entrée au carré sans la déplacer. Une seule différence entre deux sommes suffit à écarter le qualificatif bimagique. Si toutes coïncident, on poursuit avec les cubes pour tester le degré 3, puis avec les puissances suivantes jusqu'au degré annoncé.

Pour comparer deux carrés magiques, le degré atteint est donc un critère observable. Le carré magique ordinaire convient si seule la somme initiale est garantie ; le terme multimagique exige la réussite de tous les tests jusqu'à p.

Carré magique. Il impose l'égalité des sommes avec les valeurs initiales. Un carré multimagique impose en plus cette égalité après élévation à chaque puissance requise. La grille 3 × 3 de l'exemple tranche : elle est magique, mais les sommes 101 et 83 obtenues au carré sont différentes.

Carré panmagique. Il étend le contrôle à des diagonales brisées, tandis que le carré multimagique change la puissance des valeurs. Pour les distinguer, on observe donc ce qui varie dans le test : les parcours pour le premier, les exposants pour le second. Un carré cabalistique cumule les deux propriétés.

Deux tests réussis ne prouvent que le degré 2. Une grille magique qui reste magique après mise au carré est bimagique. Pour la qualifier de trimagique, il faut encore contrôler les cubes ; aucun résultat aux degrés 1 et 2 ne dispense de ce calcul.

Les constantes changent avec la puissance. L'égalité porte sur les lignes, colonnes et diagonales pour un même exposant. Il serait erroné d'exiger que la constante des valeurs initiales soit égale à celle de leurs carrés. Il faut noter une constante M_q distincte pour chaque exposant q.

Ordre et degré sont deux nombres différents. Dans « carré 4-magique d'ordre 512 », 4 est le degré maximal testé et 512 le nombre de cases par ligne. Le degré indique jusqu'à quelle puissance la propriété est contrôlée ; l'ordre indique le nombre de cases par ligne.

Élever les valeurs ne signifie pas les réarranger. Chaque puissance s'applique case par case en conservant toutes les positions. Déplacer ensuite les résultats reviendrait à tester une autre grille et ne validerait pas le carré initial.

Carré magique — Revenir à la condition de somme commune qui constitue le premier test de tout carré multimagique.

Carré bimagique — Approfondir le premier degré multimagique non trivial, celui qui ajoute le contrôle des carrés.

Carré panmagique — Examiner l'autre extension citée par les carrés cabalistiques, fondée sur les diagonales brisées.