cube magique parfait

Imaginez 125 nombres rangés dans un cube de cinq cases de côté. Une ligne droite de cinq cases doit toujours donner le même total, quel que soit l'axe suivi. Mais le qualificatif parfait exige davantage : ce total doit aussi apparaître sur les quatre grandes diagonales du cube et sur les diagonales de chaque tranche plane. Pour un cube normal d'ordre 5, ce total commun vaut 315.

Un cube magique parfait d'ordre n est un arrangement cubique de n × n × n entrées. Une même constante doit être obtenue sur trois familles de lignes : toutes les lignes parallèles aux trois axes, les quatre grandes diagonales qui joignent des sommets opposés, et les deux diagonales de chaque section plane parallèle à une face. Ces conditions portent sur les sommes des entrées, pas sur l'apparence du dessin.

Lorsque le cube est normal, ses entrées sont exactement les entiers de 1 à n³. En notant S(n) la constante magique, leur somme totale impose :Cette formule ne dépend donc pas d'une construction particulière ; elle découle de la liste des entiers employés. Un cube parfait peut être étudié sans être normal, mais cette valeur de S(n) ne lui est alors pas automatiquement applicable.

Le mot parfait décrit les directions et diagonales soumises à la même somme. Le mot bimagique décrit une autre épreuve : après remplacement de chaque entrée par son carré, le cube doit encore être magique. En remplaçant les entrées par des puissances supérieures, on obtient la notion de cube multimagique.

La structure réunit cinq éléments. Les n³ cellules portent les entrées. Les trois axes organisent les lignes de n cellules. Les sections planes, parallèles aux faces, possèdent chacune deux diagonales. Les quatre diagonales spatiales traversent le cube entre sommets opposés. Enfin, la constante magique fournit le total commun à vérifier. Les cellules déterminent les sommes ; axes et sections déterminent quels groupes de cellules doivent les partager.

Pour l'ordre 5, les trois directions donnent 25 lignes chacune. Les quinze sections planes parallèles aux faces donnent trente diagonales planes, auxquelles s'ajoutent quatre diagonales spatiales. Le schéma synthétise ces familles de contrôles. Le nom donné aux axes, l'orientation du cube dans l'espace, sa taille dessinée ou ses couleurs ne changent pas la propriété.

Considérons le contrôle d'un candidat normal d'ordre 5. Les données sont n = 5, n³ = 125 entrées, les entiers de 1 à 125 et une même constante attendue pour toutes les familles imposées.

1. La formule donne S(5) = 5 × (125 + 1) / 2 = 315.
2. La somme de tous les entiers employés vaut 125 × 126 / 2 = 7 875.
3. Dans une direction donnée, les 25 lignes sont disjointes. Si chacune totalise 315, elles donnent ensemble 25 × 315 = 7 875.
4. Il reste à contrôler séparément les 25 lignes des deux autres directions, les quatre diagonales spatiales et les trente diagonales des quinze sections planes.

Le contrôle global 25 × 315 = 7 875 confirme que la constante est compatible avec toutes les entrées. Il ne suffit toutefois pas à certifier le cube : chaque somme exigée doit réellement valoir 315. L'existence d'un cube parfait d'ordre 5 a été établie en 2003 par Walter Trump et Christian Boyer.

Dans une récréation mathématique, la constante fournit le premier contrôle d'un arrangement proposé. Si une seule ligne parallèle à un axe n'atteint pas ce total, le candidat n'est déjà pas un cube magique ; il est inutile de tester les diagonales pour conclure qu'il n'est pas parfait.

Si toutes les lignes axiales conviennent, le geste décisif consiste à examiner les diagonales planes tranche par tranche, puis les quatre diagonales spatiales. Lorsque seules les lignes parallèles aux axes sont imposées, la notion plus générale de cube magique suffit ; « parfait » réserve le cas où les contrôles diagonaux réussissent aussi.

Un cube magique impose la constante sur les lignes parallèles aux axes. Un cube magique parfait impose en plus cette constante sur les quatre diagonales spatiales et sur les diagonales de toutes les sections planes parallèles aux faces. Un candidat dont les lignes axiales valent 315 mais dont une diagonale plane ne vaut pas 315 tranche immédiatement : il est magique, mais pas parfait.

Un cube bimagique passe une épreuve différente : le remplacement de chaque entrée par son carré laisse encore un cube magique. Pour départager les deux qualificatifs, on teste les directions et diagonales avec les entrées initiales pour « parfait », puis les sommes après élévation au carré pour « bimagique ». Les cubes multimagiques prolongent ce second test à des puissances supérieures.

L'ordre 1 est un cas trivial : le cube ne contient qu'une entrée, si bien que les familles de lignes et de diagonales se réduisent au même emplacement. Il ne renseigne pas sur la difficulté des ordres suivants.

Pour les cubes magiques parfaits normaux, les ordres 2, 3 et 4 sont impossibles. Sans normalité ni exigence de valeurs distinctes, un cube rempli d'une même valeur satisfait au contraire les égalités de sommes à tout ordre. Le plus petit ordre non trivial possible dans le cas normal est donc 5 : Walter Trump et Christian Boyer en ont construit le premier exemple connu le 13 novembre 2003. Walter Trump a également construit un exemple d'ordre 6.

Une chronologie ne doit pas être lue comme une progression par ordre croissant : des exemples d'ordre 7, 8 et 11 avaient déjà été découverts respectivement en 1866, 1875 et 1888. Enfin, la formule S(n) = n(n³ + 1) / 2 suppose que le cube est normal. Si les entrées ne sont pas exactement les entiers de 1 à n³, il faut déterminer la constante à partir des valeurs réellement employées.

La fiche cube magique permet de repartir de la condition commune sur les lignes parallèles aux axes avant d'ajouter les contraintes diagonales propres au cas parfait.

Un autre prolongement consiste à changer non pas les directions contrôlées, mais la puissance des entrées. Le carré conduit aux cubes bimagiques ; les puissances supérieures conduisent aux cubes multimagiques. Ces propriétés demandent de nouveaux calculs de sommes et ne découlent pas du seul caractère parfait.