cube magique

Imaginez un petit cube dont chaque position reçoit un nombre, de 1 à 27. On additionne les nombres alignés dans chaque direction de l’espace. Dans un cube magique d’ordre 3, chaque ligne compte trois nombres et peut donner la même somme, 42 dans un exemple bien choisi.

Les quatre diagonales qui traversent le cube d’un sommet à son sommet opposé donnent aussi cette somme. Le cube est dit parfait si les diagonales tracées dans toutes les tranches parallèles à ses faces la donnent également. Sinon, il reste un cube magique simple, ou semi-parfait.

Un cube magique d’ordre n est une disposition de n³ entiers distincts dans les n³ positions d’une structure cubique. L’ordre n indique le nombre de positions sur chacune des trois directions, notées x, y et z. Une ligne parallèle à un axe rassemble n positions dont la somme doit être constante. Cette valeur commune est la constante magique du cube.

Dans la définition fournie, un cube magique simple, aussi appelé semi-parfait, impose cette constance aux lignes parallèles aux axes et aux quatre grandes diagonales spatiales. Les faces et les plans parallèles aux faces ne sont donc pas nécessairement des carrés magiques : leurs diagonales planes peuvent avoir une autre somme. Si ces diagonales planes ont elles aussi la constante magique dans toutes les sections parallèles aux faces, le cube est parfait. La perfection ajoute ainsi une condition aux propriétés du cube simple ; elle ne change ni son ordre ni le nombre de nombres employés.

Pour les entiers consécutifs de 1 à n³, la somme de tous les nombres vaut $\frac{n^3(n^3+1)}{2}\backslash frac\{n^3(n^3+1)\}\{2\}$. Comme chaque direction contient n lignes, la constante attendue, lorsque ces lignes se partagent régulièrement l’ensemble, est $\frac{n(n^3+1)}{2}\backslash frac\{n(n^3+1)\}\{2\}$. Pour n = 3, elle vaut 3(27+1)/2 = 42.

Un cube magique se décrit par quatre éléments liés. L’ordre n fixe trois dimensions identiques et donne n³ positions. Les n³ entiers distincts occupent ces positions, repérées par trois coordonnées : x, y et z. Les lignes parallèles à x, y ou z sont les alignements contrôlés en premier. Les quatre diagonales spatiales relient des sommets opposés en traversant le centre. Enfin, les diagonales des sections planes parallèles aux faces servent à tester la perfection.

Dans l’exemple d’ordre 3, les nombres sont placés par couches selon z. Chaque couche est un carré de 3 × 3 : la première contient 1, 15, 26 / 17, 19, 6 / 24, 8, 10 ; la deuxième contient 23, 7, 12 / 3, 14, 25 / 16, 21, 5 ; la troisième contient 18, 20, 4 / 22, 9, 11 / 2, 13, 27. Une ligne verticale relie les mêmes positions dans les trois couches, et chaque ligne ainsi que chaque grande diagonale spatiale vaut 42.

La figure présente les trois couches de l’exemple et met en évidence la diagonale spatiale 1 + 14 + 27 = 42. Elle permet de suivre les valeurs sans dépendre d’une perspective ambiguë.

Considérons un cube d’ordre 3 contenant les entiers distincts de 1 à 27. Ses trois couches, lues par lignes, sont : 1, 15, 26 / 17, 19, 6 / 24, 8, 10 ; 23, 7, 12 / 3, 14, 25 / 16, 21, 5 ; 18, 20, 4 / 22, 9, 11 / 2, 13, 27. La constante attendue pour les entiers de 1 à 27 est 42.

Une ligne de la première couche donne 1 + 15 + 26 = 42. La ligne verticale de la première position donne 1 + 23 + 18 = 42. Ces deux contrôles portent sur des directions différentes et montrent pourquoi toutes les coordonnées doivent être testées.

Une grande diagonale spatiale donne 1 + 14 + 27 = 42. Les trois autres donnent également 42 dans cette construction. En revanche, la diagonale plane de la première couche donne 1 + 19 + 10 = 30 : le cube est magique simple, mais il n’est pas parfait.

Le contrôle complet consiste donc à vérifier les lignes parallèles aux trois axes et les quatre diagonales spatiales, puis à examiner les diagonales planes si l’on veut tester la perfection. Chaque égalité se recalcule directement à partir des nombres placés.

Pour contrôler un cube, commencez par fixer son ordre et compter ses positions. Pour l’ordre 3, il faut 27 positions et 27 entiers distincts. Une répétition ou une position manquante invalide déjà la disposition.

Additionnez ensuite les lignes parallèles à chacun des trois axes, puis les quatre diagonales spatiales. La même constante doit apparaître partout. Un tableau de calcul ou un court programme peut aider à ne pas oublier une direction, mais il ne remplace pas la définition des lignes contrôlées.

Enfin, examinez les diagonales des sections parallèles aux faces. Si elles ont la constante magique, la disposition est parfaite ; si elles ne l’ont pas, elle peut rester simple ou semi-parfaite. Ce test distingue une propriété supplémentaire d’une erreur de construction.

Un cube magique ne se confond pas avec un carré magique. Le carré organise des nombres dans deux dimensions et contrôle ses lignes, colonnes et diagonales planes. Le cube ajoute une troisième direction et des diagonales spatiales. Une disposition peut donc être un carré magique sur une face sans être un cube magique.

Il ne faut pas non plus confondre cube magique simple et cube magique parfait. Le critère qui tranche est testable : le simple exige les lignes axiales et les quatre diagonales spatiales ; le parfait exige en plus les diagonales de toutes les sections planes parallèles aux faces.

Le mot « magique » ne signifie pas que toutes les additions possibles sont constantes. Dans un cube simple, les diagonales planes des faces ou des sections parallèles aux faces peuvent différer de la constante magique. Il faut donc préciser le type de diagonale contrôlé avant de conclure.

L’ordre 3 fournit un seuil concret pour l’exemple : il demande exactement 3³ = 27 positions et une constante de 42 lorsque les nombres employés sont 1 à 27. Une disposition de taille différente ne doit pas être évaluée avec ces valeurs.

Une série de nombres distincts ne suffit pas non plus. La condition porte sur leur placement et sur des familles précises de lignes et de diagonales. Pour éviter un faux positif, vérifiez séparément les trois axes, les quatre diagonales spatiales et, seulement pour la perfection, les diagonales planes.

Le carré magique constitue le modèle en deux dimensions dont le cube magique généralise l’idée. Sa lecture aide à distinguer les lignes et diagonales d’une face des diagonales qui traversent réellement le volume. Le passage à trois dimensions transforme ainsi une contrainte familière en problème de combinatoire plus riche.