matrice magique

Imaginez neuf cases disposées en carré et contenant chacune un nombre différent de 1 à 9. Dans un carré magique, les trois nombres de chaque ligne donnent le même total. Cette règle vaut aussi pour chaque colonne et pour les deux diagonales qui relient des coins opposés.

Ce total commun est la constante magique. La magie n'est donc pas un tour : c'est l'équilibre simultané de plusieurs sommes dans un même tableau.

Une matrice magique d'ordre n est un tableau carré comportant n lignes et n colonnes. Dans le sens retenu ici, ses n² entrées sont des entiers distincts. La somme de chaque ligne, de chaque colonne et des deux diagonales principales doit prendre une même valeur, appelée constante magique. Les autres diagonales ne font pas partie de cette condition.

Lorsque les entrées sont exactement les entiers de 1 à n², on parle couramment de carré magique normal. La somme de tous ces entiers vaut n²(n² + 1)/2. Comme les n lignes ont chacune la même somme, la constante magique, notée M, est donc :

Cette formule découle du choix des nombres de 1 à n² ; elle ne donne pas la constante d'un tableau rempli avec un autre ensemble de valeurs. Plus largement, les matrices réelles dont les lignes, colonnes et diagonales principales ont une somme commune obéissent à des contraintes linéaires. Cet ensemble élargi forme un sous-espace vectoriel, contrairement à la famille restreinte des carrés normaux à entrées distinctes.

La structure repose sur quatre éléments. L'ordre n fixe le nombre de lignes et de colonnes, donc n² cases. Les entrées sont les nombres placés dans ces cases ; dans un carré normal, ce sont exactement les entiers de 1 à n². Les lignes et colonnes imposent 2n sommes à comparer. Les deux diagonales principales ajoutent les deux trajets reliant des coins opposés.

L'ordre détermine ainsi le nombre d'entrées et, pour un carré normal, la constante magique. La position de chaque entrée détermine plusieurs sommes à la fois : une ligne, une colonne et, selon sa position, aucune, une ou deux diagonales principales. Pour n=1, les deux diagonales principales coïncident. La couleur, l'orientation ou la taille dessinée du tableau ne définissent pas l'objet. Ces données suffisent à reconstruire le tableau et à vérifier toutes les sommes exigées.

Prenons un carré d'ordre 3 contenant une fois chacun des entiers de 1 à 9. Le tableau choisi permet de suivre visuellement les huit sommes qui doivent coïncider.

Les données sont n = 3, neuf cases et les nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9. Leur disposition est :

1. La formule du carré normal donne M = 3 × (3² + 1) ÷ 2 = 15.

2. Les lignes donnent 8 + 1 + 6 = 15, 3 + 5 + 7 = 15 et 4 + 9 + 2 = 15.

3. Les colonnes donnent 8 + 3 + 4 = 15, 1 + 5 + 9 = 15 et 6 + 7 + 2 = 15.

4. Les diagonales principales donnent 8 + 5 + 2 = 15 et 6 + 5 + 4 = 15. Les neuf entrées sont distinctes et toutes les sommes requises valent 15 : le tableau est bien un carré magique normal d'ordre 3. Comme contrôle global, 1 + 2 + ⋯ + 9 = 45, soit trois lignes de somme 15.

Dans un problème de construction, on commence par fixer l'ordre et l'ensemble des nombres autorisés. Si les nombres sont 1 à n², la formule fournit d'abord la somme cible ; il reste ensuite à chercher une disposition qui satisfait toutes les directions.

Pour contrôler un tableau proposé, on vérifie d'abord que chaque entier attendu apparaît une seule fois. On additionne ensuite séparément les lignes, les colonnes et les deux diagonales principales. Une simple égalité des lignes ne suffit pas.

Dans un raisonnement algébrique, on remplace les cases inconnues par des variables et les égalités de sommes par des équations linéaires. Cette approche convient si l'on étudie toutes les matrices réelles à sommes communes ; une recherche combinatoire reste nécessaire lorsque les entrées doivent aussi être distinctes et imposées.

Une matrice carrée quelconque possède autant de lignes que de colonnes, mais cette forme ne garantit aucun équilibre. Par exemple, le tableau d'ordre 3 rempli ligne après ligne avec 1 à 9 est carré et contient les bons entiers, pourtant ses sommes de lignes diffèrent.

À l'ordre 1, l'unique case forme un cas trivial : sa ligne, sa colonne et ses deux diagonales se confondent. À l'ordre 2, aucun carré magique normal utilisant 1, 2, 3 et 4 n'existe. Les deux diagonales forceraient des paires opposées de somme 5, puis les lignes ne pourraient pas toutes atteindre la constante 5.

Obtenir la même somme sur les lignes et les colonnes ne suffit pas si une diagonale principale échoue. Il faut contrôler les deux diagonales, mais pas toutes les diagonales partielles du tableau.

La formule M = n(n² + 1)/2 suppose précisément l'emploi des entiers de 1 à n². Avec d'autres valeurs, il faut additionner toutes les entrées puis diviser cette somme par n, à condition que les lignes aient effectivement une somme commune.

Enfin, l'addition de deux carrés normaux ne produit généralement pas un carré normal : les entrées ne sont plus les entiers de 1 à n² et peuvent se répéter. La stabilité par addition et multiplication scalaire appartient à l'ensemble élargi des matrices réelles satisfaisant les contraintes linéaires de sommes, pas à la famille combinatoire des carrés normaux.

Construire son premier carré magique prolonge la vérification par une démarche de construction concrète.

L'entrée espace vectoriel donne le cadre nécessaire pour interpréter les contraintes linéaires sur les matrices réelles à sommes communes.

L'article Applications linéaires : le « noyau dur » de l'algèbre… linéaire approfondit le langage algébrique mobilisé par ces contraintes.