ArithmétiqueNotion · Glossaire
carré magique
Un carré magique d'ordre n est un carré de n² cases dans lequel sont placés n² nombres distincts — généralement les entiers consécutifs de 1 à n² — de sorte que les sommes de chaque ligne, de chaque colonne et des deux diagonales principales soient toutes égales à une même valeur, appelée constante magique ou densité magique. Pour un carré normal d'ordre n utilisant les entiers de 1 à n², la constante magique vaut n(n²+1)/2.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les lignes, colonnes et diagonales qui doivent partager la même somme.
- Relier l'ordre n, les n² cases et la constante d'un carré normal.
- Vérifier intégralement un carré 3 × 3 de constante 15.
- Reconnaître les limites des ordres 1 et 2 et de la formule normale.
En clair
Imaginez neuf cases disposées en trois lignes et trois colonnes. On y place une seule fois chacun des nombres de 1 à 9. L'enjeu est de les répartir pour que chaque traversée horizontale, verticale ou diagonale donne le même total.
Dans le carré 3 × 3 utilisé ici, ce total commun est 15. Une ligne ne suffit donc pas à rendre la grille magique : les trois lignes, les trois colonnes et les deux grandes diagonales doivent toutes réussir le même contrôle.
Définition
Un carré magique d'ordre n est une grille carrée comportant n lignes, n colonnes et donc n² cases. Chaque case reçoit un nombre distinct. Le même total doit être obtenu sur chacune des n lignes, chacune des n colonnes et sur les deux diagonales principales, celles qui relient deux sommets opposés. Ce total commun se nomme constante magique, ou densité magique.
Un carré magique est dit normal lorsque ses n² valeurs sont exactement les entiers consécutifs de 1 à n². Si la lettre S désigne la constante magique, la somme de toutes les cases vaut à la fois n fois S et la somme des entiers de 1 à n². Il en résulte :
Cette formule dépend du choix précis des entiers de 1 à n². Avec d'autres nombres distincts, une grille peut encore être magique, mais sa constante se déduit alors de la somme effective de ses cases, divisée par n.
Un exemple, pas à pas
On veut contrôler un carré normal d'ordre 3. Les données sont neuf cases et les entiers distincts de 1 à 9, chacun utilisé une fois. La grille proposée est la suivante :
La figure matérialise les directions qui doivent toutes conduire au même total.
1. La constante attendue vaut .
2. Les lignes donnent 8 + 1 + 6 = 15, 3 + 5 + 7 = 15 et 4 + 9 + 2 = 15.
3. Les colonnes donnent 8 + 3 + 4 = 15, 1 + 5 + 9 = 15 et 6 + 7 + 2 = 15.
4. Les diagonales donnent 8 + 5 + 2 = 15 et 6 + 5 + 4 = 15.
3. Les colonnes donnent 8 + 3 + 4 = 15, 1 + 5 + 9 = 15 et 6 + 7 + 2 = 15.
4. Les diagonales donnent 8 + 5 + 2 = 15 et 6 + 5 + 4 = 15.
Les huit directions ont donc la constante 15. Un dernier contrôle consiste à additionner toutes les cases : 45 = 3 × 15, ce qui confirme que les trois sommes de lignes couvrent bien chaque nombre une fois.
En pratique
Pour contrôler une grille terminée, additionnez d'abord toutes ses cases et divisez le total par son ordre. Vous obtenez la seule constante possible. Si une ligne n'atteint pas cette valeur, il est inutile de tester les autres directions.
Dans une grille à compléter, une ligne presque pleine impose sa case manquante : elle doit fournir l'écart entre la constante et les nombres déjà présents. Il faut ensuite vérifier que ce choix respecte aussi la colonne et, le cas échéant, une diagonale principale.
Si le but est seulement de répartir des symboles sans répétition, un carré latin est plus adapté. Le carré magique devient pertinent lorsque l'égalité des sommes est précisément la propriété recherchée.
À ne pas confondre
Carré latin. Chaque symbole doit apparaître une fois par ligne et par colonne, mais les sommes et les diagonales ne définissent pas l'objet. Une grille de lettres peut donc être un carré latin sans être un carré magique.
Sudoku. Le contrôle porte sur l'absence de répétition dans les lignes, les colonnes et les régions délimitées. Une grille de sudoku résolue n'est pas magique pour autant : l'égalité des sommes et les deux diagonales principales n'y sont pas exigées.
Limites et pièges
Ordre 1. La grille réduite à la seule case 1 satisfait formellement toutes les directions, avec une constante égale à 1. C'est un cas dégénéré : aucune répartition entre plusieurs cases n'est en jeu.
Ordre 2. Un carré magique à quatre nombres distincts est impossible. Dans une grille 2 × 2, l'égalité des deux lignes et des deux colonnes force les cases opposées à être égales deux à deux. Le symptôme est donc une répétition, contraire à la définition.
Contrôle incomplet. Des lignes et des colonnes de même somme ne suffisent pas. Si l'une des deux diagonales principales donne un autre total, la grille n'est pas un carré magique au sens retenu ici.
Valeurs non normales. La formule n(n² + 1)/2 ne s'applique qu'aux entiers de 1 à n². Pour une autre collection de nombres distincts, il faut additionner toutes les cases puis diviser par n avant de tester chaque direction.
Pour aller plus loin
constante magique — Reliez le total commun à l'ordre du carré et à la somme de toutes ses cases.
Construire son premier carré magique — Passez de la vérification d'une grille à la construction guidée d'un premier exemple.
Les carrés magiques, un sujet toujours d'actualité — Prolongez la découverte par une lecture consacrée aux recherches et publications sur ces objets.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres