méthode Couturier - carré magique -

Imaginez neuf cases à remplir avec les entiers de 1 à 9, chacun utilisé une seule fois. Le défi est que les trois lignes, les trois colonnes et les deux grandes diagonales donnent toutes la même somme.

La méthode Couturier organise cette recherche en une suite d’opérations, au lieu de procéder par essais dispersés. Elle s’appuie notamment sur les symétries du carré ou sur des permutations d’entrées, tout en conservant les sommes à égaliser.

La méthode Couturier est une procédure algorithmique de construction ou de résolution de carrés magiques. Elle porte sur un tableau carré rempli de nombres entiers distincts. Le résultat recherché possède une même somme sur chaque ligne, chaque colonne et chacune des deux diagonales principales. Cette somme commune est la constante magique.

Dans cette fiche, aucune suite de placements ni variante de construction n’est attribuée à Couturier sans règle documentée. Le périmètre vérifiable est celui du résultat : les entrées doivent rester distinctes et le tableau final doit satisfaire toutes les égalités de sommes exigées.

Pour un carré d’ordre 3, chaque direction contrôlée contient trois cases. Le carré 8, 1, 6 / 3, 5, 7 / 4, 9, 2 fournit un cas de contrôle : chacune des huit sommes requises vaut 15. Cet exemple montre le résultat attendu, sans faire de toute permutation une transformation valide.

On part d’un tableau carré et d’entiers distincts destinés à l’occuper. On applique dans un ordre déterminé les placements, symétries ou permutations prescrits par la construction retenue. Après chaque opération, on suit la position des entrées sans en perdre ni en répéter. La procédure s’arrête lorsque toutes les cases sont remplies et que les sommes des lignes, des colonnes et des deux diagonales principales coïncident. Leur valeur commune est alors la constante magique.

La méthode s’applique à un tableau carré, avec une collection déterminée de nombres entiers distincts et une règle de placement adaptée à ce tableau. Le contrôle final doit porter séparément sur chaque ligne, chaque colonne et les deux diagonales principales. Une égalité limitée aux lignes ne suffit pas.

Un tableau de neuf cases contenant deux fois le nombre 5 est un contre-cas, même si certaines sommes valent 15 : la condition d’entrées distinctes échoue. Il faut remplacer le doublon par l’entier manquant, puis reprendre la construction ou utiliser une autre permutation qui préserve toutes les contraintes.

Considérons un tableau de 3 × 3 cases. Les données sont les neuf entiers distincts de 1 à 9 et le placement 8, 1, 6 / 3, 5, 7 / 4, 9, 2. La figure matérialise ce placement et les directions qu’il faut contrôler.

1. Additionner les lignes : 8 + 1 + 6 = 15, 3 + 5 + 7 = 15 et 4 + 9 + 2 = 15.
2. Additionner les colonnes : 8 + 3 + 4 = 15, 1 + 5 + 9 = 15 et 6 + 7 + 2 = 15.
3. Contrôler les diagonales principales : 8 + 5 + 2 = 15 et 6 + 5 + 4 = 15.

Les huit sommes contrôlées ont donc la même valeur exacte : 15. Les nombres de 1 à 9 apparaissent chacun une fois. Le tableau est bien un carré magique, et sa constante magique vaut 15.

Cette fiche ne fournit pas l’ordre de placement propre à une variante Couturier. Elle sert à contrôler un tableau déjà rempli : on commence par recopier ses cases sans les modifier, afin de distinguer le résultat reçu de sa vérification.

Pour contrôler un carré déjà rempli, on vérifie d’abord que le tableau est carré et que les entrées sont distinctes. On calcule ensuite toutes les sommes requises ; une seule valeur différente suffit à écarter le résultat.

Une symétrie ou une permutation peut raccourcir la recherche lorsqu’elle appartient à la construction suivie. Si l’on ne sait pas qu’elle conserve les contraintes, il faut recalculer les huit sommes du carré d’ordre 3.

Un carré latin impose une organisation des symboles dans les lignes et les colonnes, mais pas l’égalité de sommes propre au carré magique. Le test est direct : si seules les répétitions sont contrôlées et qu’aucune constante commune n’est exigée, il ne s’agit pas du même objet.

Un sudoku demande de compléter des lignes, des colonnes et des régions selon une règle d’unicité. Même présenté sur une grille carrée avec des entiers, il n’exige pas que les deux diagonales principales et toutes les lignes aient une somme commune.

À l’ordre 1, l’unique case donne un carré magique trivial : la case, la ligne, la colonne et les deux diagonales se confondent. Ce cas charnière ne montre donc pas le mécanisme d’une construction sur plusieurs entrées.

Des lignes de même somme ne prouvent rien sur les colonnes ou les diagonales. Le symptôme est un contrôle partiel annoncé comme résultat complet. Il faut calculer séparément toutes les directions exigées.

Une permutation quelconque des cases ne conserve pas nécessairement la magie. Dans l’exemple, échanger seulement 8 et 1 transforme la première colonne en 1 + 3 + 4 = 8. Il faut employer une transformation justifiée par la construction, puis refaire le contrôle complet.

La définition source décrit le principe général, mais ne fixe pas ici une variante détaillée de l’algorithme. Il ne faut donc pas attribuer à la méthode une suite particulière de déplacements sans disposer de cette règle ; on se limite aux opérations explicitement données par la construction consultée.

Le glossaire carré magique approfondit l’objet obtenu, ses contraintes de sommes et le vocabulaire utile pour contrôler une construction.

L’article Construire son premier carré magique prolonge la démarche par une mise en œuvre consacrée à une première construction.