méthode de Lucas - carré magique -

Prenez neuf cases et placez 5 au centre. Avec deux écarts, 3 et 1, la méthode de Lucas remplit les huit cases restantes : on obtient 8, 1, 6 sur la première ligne, puis 3, 5, 7, et enfin 4, 9, 2. Additionnez dans n'importe quelle ligne, colonne ou diagonale : le résultat est toujours 15.

Le nombre central fixe donc la somme commune, tandis que les deux écarts organisent les nombres autour de lui. La méthode ne fournit pas seulement cet exemple : avec des paramètres convenables, elle décrit tous les carrés magiques 3×3.

La méthode de Lucas est un paramétrage des carrés magiques additifs d'ordre 3. Le nombre c désigne la case centrale ; les nombres a et b désignent deux écarts qui déterminent les huit autres cases. La grille correcte s'écrit :

Dans chaque ligne, chaque colonne et chacune des deux diagonales, les contributions en a et en b s'annulent ; la somme commune vaut 3c. Les cases opposées par rapport au centre ont pour somme 2c. Lorsque a, b et c sont entiers, toutes les cases sont entières. Pour obtenir un carré magique au sens de la source, les neuf valeurs doivent en plus être distinctes. Réciproquement, tout carré magique 3×3 à entrées entières prend cette forme : c est sa case centrale, puis a et b se lisent comme les écarts entre c et les cases supérieure gauche et supérieure droite. Les rotations et les symétries du carré correspondent à d'autres choix des deux écarts.

Choisissez trois entiers : c pour le centre, puis a et b pour deux écarts. Placez successivement les neuf expressions de la grille de Lucas, en veillant à utiliser c − b dans la case inférieure gauche.

Contrôlez enfin que les neuf résultats sont distincts. Si c'est le cas, la construction s'arrête : les huit lignes de trois cases — trois lignes, trois colonnes et deux diagonales — ont automatiquement la même somme 3c.

La méthode s'applique à une grille 3×3 et demande trois entiers a, b et c. Le placement imposé garantit les sommes égales à 3c, mais il ne garantit pas à lui seul que les neuf cases sont distinctes. Cette dernière propriété doit être vérifiée après substitution.

Les paramètres a = 3, b = 1 et c = 5 conviennent : ils produisent exactement les entiers de 1 à 9, sans répétition. En revanche, si a = b, la case située au milieu à gauche vaut c − a + b = c et répète le centre. Le tableau conserve alors ses sommes égales, mais ce n'est pas un carré magique de neuf entiers distincts au sens retenu ici. Il faut choisir d'autres écarts, puis refaire le contrôle.

Construisons un carré contenant les entiers de 1 à 9. Les données sont le centre c = 5 et les écarts a = 3 et b = 1. La somme attendue est donc 3c = 15.

1. Calculons la première ligne : c + a = 8, c − a − b = 1 et c + b = 6.

2. Calculons la ligne centrale : c − a + b = 3, puis c = 5 et c + a − b = 7.

3. Calculons la dernière ligne : c − b = 4, c + a + b = 9 et c − a = 2. La figure rassemble cette grille et les contrôles de somme.

4. Les neuf résultats sont distincts et forment bien l'ensemble des entiers de 1 à 9. Contrôlons trois directions : 8 + 1 + 6 = 15 sur une ligne, 1 + 5 + 9 = 15 sur une colonne et 8 + 5 + 2 = 15 sur une diagonale. Le même calcul vaut pour les cinq autres alignements.

Pour construire rapidement un carré magique 3×3, on choisit le centre et deux écarts, on remplit les cases selon le gabarit, puis on vérifie l'absence de doublon. Cette voie est préférable aux essais successifs lorsque l'on veut contrôler directement la somme commune.

Pour analyser une grille déjà remplie, on commence par lire son centre c. La somme commune doit valoir 3c ; les cases opposées doivent totaliser 2c. Si ces contrôles échouent, le paramétrage de Lucas ne peut pas décrire la grille comme un carré magique 3×3.

Pour obtenir une autre disposition des mêmes neuf nombres, on peut modifier les signes ou échanger les rôles de a et b, puis recalculer la grille. Une rotation ou une symétrie est plus directe si l'on souhaite seulement changer l'orientation d'un carré déjà construit.

Un carré semi-magique impose la même somme aux lignes et aux colonnes, mais pas nécessairement aux deux diagonales. Une grille dont les lignes et colonnes valent 15 n'est donc pas un carré magique si une diagonale donne un autre total.

Un carré magique multiplicatif égalise des produits, tandis que la méthode de Lucas présentée ici égalise des sommes. Le critère est immédiat : on additionne trois cases dans cette fiche ; une égalité obtenue seulement par multiplication relève d'une autre notion.

Une grille de sudoku organise des symboles selon des contraintes de présence, sans demander que les lignes, colonnes et diagonales aient une somme commune. La grille 8–1–6 / 3–5–7 / 4–9–2 est magique parce que ses huit alignements valent 15, pas seulement parce que ses nombres sont distincts.

Des paramètres entiers ne suffisent pas. Avec a = b, une case répète le centre ; avec b = 0, la case supérieure droite répète aussi le centre. Il faut comparer les neuf valeurs, et non se contenter des sommes égales.

Le signe de la case inférieure gauche est décisif : la formule correcte est c − b. Écrire c + b à cet endroit duplique la case supérieure droite et détruit la propriété de distinction. Le gabarit doit donc être vérifié avant toute substitution numérique.

La valeur 3c est la somme commune, pas la valeur du centre. Dans l'exemple, c vaut 5 et la constante magique vaut 15. Confondre ces deux nombres fait échouer dès le contrôle d'une ligne.

Ce paramétrage est propre à l'ordre 3. Une grille 4×4 possède seize cases et ne se construit pas en prolongeant simplement les trois lignes de Lucas. Pour un autre ordre, il faut employer une construction adaptée à cet ordre.

Le glossaire carré magique replace la construction de Lucas dans la définition générale de l'objet et de ses alignements.

La fiche constante magique approfondit le nombre commun obtenu sur chaque ligne, chaque colonne et chaque diagonale.

L'article Construire son premier carré magique propose une autre entrée pratique pour passer des contraintes de somme à une grille complète.