carré Lo Shu

Imaginez une grille de neuf cases dans laquelle chaque nombre de 1 à 9 apparaît une fois. Dans le carré Lo Shu, on obtient toujours 15 en additionnant les trois nombres d'une ligne, d'une colonne ou d'une diagonale. Le 5 occupe le centre de l'exemple classique : autour de lui, deux cases opposées totalisent 10. Cette organisation très régulière fait du Lo Shu un carré magique d'ordre 3.

Le carré Lo Shu, ou Neuf Diagrammes, est une grille carrée de trois lignes et trois colonnes. Son ordre est donc 3. Ses neuf cases reçoivent chacune un entier différent de 1 à 9. La condition décisive est additive : les trois nombres de chacune des trois lignes, des trois colonnes et des deux diagonales principales ont la même somme, appelée constante magique. Dans le Lo Shu, cette constante vaut 15.

La somme des neuf entiers vaut 45. Comme les trois lignes partagent cette somme totale, leur somme commune doit être 45 ÷ 3 = 15. Une disposition classique est Les rotations et les symétries de cette grille changent son orientation, mais conservent les huit alignements de somme 15.

La tradition chinoise fait remonter le Lo Shu au troisième millénaire avant J.-C., avec prudence sur cette datation, et lui donne une place fondamentale dans le Feng Shui. Elle associe aussi 15 aux regroupements symboliques 8 + 7 pour le yin et 9 + 6 pour le yáng. Ces interprétations culturelles accompagnent l'objet arithmétique ; elles ne remplacent pas son critère vérifiable, qui reste l'égalité des huit sommes.

On examine la disposition 4, 9, 2 sur la première ligne ; 3, 5, 7 sur la deuxième ; 8, 1, 6 sur la troisième. Les données sont donc les neuf entiers de 1 à 9, employés une seule fois, dans une grille de trois cases sur trois.

1. Additionnez les lignes : 4 + 9 + 2 = 15 ; 3 + 5 + 7 = 15 ; 8 + 1 + 6 = 15.
2. Additionnez les colonnes : 4 + 3 + 8 = 15 ; 9 + 5 + 1 = 15 ; 2 + 7 + 6 = 15.
3. Additionnez les diagonales principales : 4 + 5 + 6 = 15 et 2 + 5 + 8 = 15.

Les huit alignements donnent bien la constante magique 15 : la grille est un carré Lo Shu. Pour un contrôle indépendant, additionnez tous les nombres. Le total vaut 45, soit trois lignes de somme 15. La figure rend visibles les huit directions contrôlées sans ajouter une condition nouvelle.

Pour vérifier une grille annoncée comme Lo Shu, commencez par contrôler que les entiers de 1 à 9 apparaissent chacun une fois. Additionnez ensuite les trois lignes, les trois colonnes et les deux diagonales principales. Le nom convient seulement si les huit résultats valent 15.

Pour résoudre une case effacée, utilisez l'alignement qui la contient. Si une ligne montre 4, 9 et une case vide, le nombre manquant vaut 15 − 4 − 9 = 2. Vérifiez enfin qu'il appartient encore à l'ensemble de 1 à 9 et qu'il satisfait aussi sa colonne ou sa diagonale.

Pour comparer deux dessins du Lo Shu, observez les voisinages plutôt que l'orientation de la feuille. Une rotation ou une symétrie peut déplacer chaque nombre tout en conservant toutes les sommes. Si les huit alignements restent égaux à 15, les deux dessins expriment la même structure magique sous des orientations différentes.

Le carré magique est la notion générale ; le carré Lo Shu en est le cas d'ordre 3 utilisant exactement les entiers de 1 à 9 et la constante 15. Une grille magique de quatre lignes et quatre colonnes est donc un carré magique, mais ce n'est pas un Lo Shu. Le nombre de lignes tranche immédiatement.

Une seule somme égale à 15 ne suffit pas. Le piège se repère lorsqu'une ligne convient, mais qu'une colonne ou une diagonale donne un autre résultat. Il faut contrôler les huit alignements : trois lignes, trois colonnes et deux diagonales principales.

Le seuil 15 n'est pas un choix interchangeable si la grille emploie une fois chacun les entiers de 1 à 9. Leur total est 45 ; trois lignes de même somme imposent donc 45 ÷ 3 = 15. Une autre constante signale qu'au moins une donnée ou une addition ne respecte pas ces conditions.

Une rotation ou une symétrie ne crée pas un échec : elle conserve les lignes droites et leurs sommes. En revanche, échanger arbitrairement deux nombres produit généralement un symptôme net, avec plusieurs totaux différents. Le bon réflexe est de refaire les huit additions au lieu de comparer seulement l'apparence à une orientation mémorisée.

La datation au troisième millénaire avant J.-C. est formulée comme une attribution traditionnelle, non comme une date certaine. Il faut conserver ce conditionnel lorsque l'on présente l'histoire du Lo Shu, tout en séparant cette question historique de la propriété arithmétique directement vérifiable.

Le glossaire consacré au carré magique replace le Lo Shu dans la famille générale des grilles dont les lignes, colonnes et diagonales partagent une somme.

L'article Construire son premier carré magique prolonge la vérification par une démarche de construction, utile pour passer d'un exemple donné à une grille organisée.