figure magique

Imaginez neuf cases contenant les nombres de 1 à 9. Leur placement devient « magique » lorsque plusieurs chemins imposés donnent la même somme. Dans un carré, ces chemins sont les lignes, les colonnes et les deux grandes diagonales.

La forme peut changer : sur un triangle, ce sont plutôt les trois côtés que l'on compare. L'idée demeure la même : la géométrie indique quels groupes de nombres additionner, puis l'égalité de leurs résultats crée la contrainte.

Une figure magique est un support géométrique portant des nombres et accompagné d'une famille précise de groupes à additionner. La figure est dite magique lorsque toutes les sommes exigées sont égales. Leur valeur commune s'appelle la constante magique. La forme seule ne suffit donc pas : il faut aussi connaître les emplacements autorisés et les groupes soumis à la contrainte.

Dans un carré magique, les groupes prescrits sont chaque ligne, chaque colonne et les deux diagonales principales. Si le carré comporte n cases par côté et utilise une fois chacun des entiers de 1 à n², sa constante, notée M, est imposée par le total des nombres :

Un triangle magique impose plutôt l'égalité des sommes sur ses trois côtés. Une étoile magique sélectionne de la même façon des alignements déterminés par ses branches. D'autres figures et d'autres contraintes arithmétiques sont possibles : il faut toujours annoncer les groupes comparés. Ces objets appartiennent aux mathématiques récréatives, mais leur étude mobilise aussi la combinatoire et les symétries décrites par la théorie des groupes.

Considérons un carré de trois cases sur trois. La figure associée rend visibles les huit alignements contrôlés.

Données. Les nombres utilisés sont 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9, chacun une seule fois. Leur disposition, ligne après ligne, est 8–1–6, puis 3–5–7, puis 4–9–2.

1. Les lignes donnent 8 + 1 + 6 = 15, 3 + 5 + 7 = 15 et 4 + 9 + 2 = 15.
2. Les colonnes donnent 8 + 3 + 4 = 15, 1 + 5 + 9 = 15 et 6 + 7 + 2 = 15.
3. Les diagonales principales donnent 8 + 5 + 2 = 15 et 6 + 5 + 4 = 15.

Les huit sommes prescrites ont donc la même valeur : la constante magique est 15. Pour contrôler ce résultat autrement, le total 1 + 2 + … + 9 vaut 45 ; partagé entre les trois lignes, il impose bien 45 ÷ 3 = 15.

Dans un problème à compléter, on commence par écrire la somme visée. Une ligne dont deux nombres sont connus impose alors le troisième : avec une constante 15, les valeurs 8 et 1 appellent 6.

Pour vérifier une disposition proposée, on additionne séparément tous les groupes annoncés. Le simple total des nombres ne suffit pas ; si une seule ligne, colonne ou diagonale prescrite diffère, le carré n'est pas magique.

Pour comparer plusieurs solutions, on peut rechercher les rotations et les symétries qui conservent les contraintes. Si deux dispositions ne se correspondent pas ainsi, une étude combinatoire permet de décider si elles représentent réellement des solutions distinctes.

Figure magique et carré magique. Une figure magique est la catégorie générale ; un carré magique en est un cas particulier. Si le support est triangulaire ou étoilé, parler de carré serait incorrect, même lorsque toutes les sommes demandées sont égales.

Triangle magique et carré magique. Le critère se lit sur des groupes différents. Dans un triangle, on compare les nombres placés sur les côtés ; dans un carré, on contrôle les lignes, les colonnes et les deux diagonales principales.

Des contraintes non précisées rendent le verdict ambigu. Une même disposition peut satisfaire certains alignements et en manquer d'autres. Il faut lister les groupes à comparer avant de la déclarer magique.

« Carré magique » n'impose pas à lui seul les nombres de 1 à n². Cette condition définit le carré magique dit normal. Si des répétitions ou une autre liste sont autorisées, elles doivent être annoncées ; sinon, une égalité triviale pourrait passer pour une construction attendue.

Un carré d'une seule case est un cas dégénéré. Son unique ligne, son unique colonne et ses deux diagonales principales coïncident, donc leurs sommes sont automatiquement égales. Il vérifie la règle formelle, mais n'éprouve aucune contrainte de placement.

Toutes les diagonales imaginables ne sont pas requises. Pour le carré magique usuel, seules les deux diagonales principales entrent dans la définition. Exiger aussi des diagonales brisées ou décalées décrit une variante plus contraignante, qu'il faut nommer séparément.

Le glossaire carré magique approfondit le cas où lignes, colonnes et diagonales principales partagent une même somme.

L'article Construire son premier carré magique prolonge l'exemple par une démarche de construction.

Le glossaire étoile magique présente une autre géométrie dans laquelle les alignements des branches portent les contraintes.