récréation magique

Imaginez une grille dans laquelle chaque case reçoit un nombre. Le défi est de placer ces nombres pour que plusieurs parcours désignés donnent le même total. Dans un carré magique 3 × 3 rempli avec les nombres de 1 à 9, chaque ligne, chaque colonne et les deux grandes diagonales totalisent 15. Le plaisir vient du double regard : il faut respecter une règle de calcul tout en trouvant une disposition qui la rend possible.

Une récréation magique associe une configuration géométrique, des nombres à placer et une famille de groupements auxquels s'applique une contrainte. Les groupements peuvent être des rangées, des colonnes, des diagonales, des cercles ou des chemins. Dans la version additive, on calcule la somme des nombres de chaque groupement et l'on exige une valeur commune, appelée constante magique lorsque le contexte est celui d'un carré magique.

Pour un carré magique 3 × 3 utilisant une fois chacun les nombres de 1 à 9, la valeur commune du carré conducteur est 15. Elle concerne les trois lignes, les trois colonnes et les deux diagonales principales. Le mot « magique » ne signifie donc pas que toute combinaison de cases a la même somme : seules les familles prévues par la règle sont contraintes.

La somme n'est pas obligatoire dans toutes les variantes. Une récréation peut imposer l'égalité des produits ou ajouter des conditions sur les nombres, leur répétition ou leur emplacement. La nature exacte du jeu dépend ainsi de la figure et des contraintes annoncées.

Considérons le carré conducteur suivant : les nombres de 1 à 9 sont utilisés une seule fois, et les lignes, colonnes et diagonales principales doivent avoir une somme commune. La disposition est 8, 1, 6 sur la première ligne ; 3, 5, 7 sur la deuxième ; 4, 9, 2 sur la troisième.

Les données sont les nombres 1 à 9, une grille de 3 lignes et 3 colonnes, et la famille de 8 groupements à contrôler.

La première ligne donne 8 + 1 + 6 = 15.
La deuxième ligne donne 3 + 5 + 7 = 15.
La troisième ligne donne 4 + 9 + 2 = 15.
La première colonne donne 8 + 3 + 4 = 15.
La deuxième colonne donne 1 + 5 + 9 = 15.
La troisième colonne donne 6 + 7 + 2 = 15.
La diagonale descendante donne 8 + 5 + 2 = 15.
La seconde diagonale donne 6 + 5 + 4 = 15.

Le résultat est une constante magique égale à 15 pour les huit groupements prévus : les trois lignes, les trois colonnes et les deux diagonales principales.

Dans une grille imprimée, on commence par repérer les groupements annoncés : une ligne, une colonne ou une diagonale n'a de rôle que si la règle la mentionne. On additionne ensuite les cases de chaque groupement et l'on compare les résultats.

Pour résoudre une configuration incomplète, les cases déjà remplies fournissent des sommes partielles. Une case manquante se déduit lorsque la somme attendue est connue ; sinon, on conserve plusieurs possibilités et l'on recoupe avec un autre groupement.

Un tableau numérique convient lorsque les contraintes sont clairement séparées. Une figure dessinée est préférable lorsque les groupements suivent des cercles ou des chemins, car elle rend leurs intersections visibles.

Une récréation magique ne se réduit pas à un carré magique. Le carré magique est une figure particulière, avec des lignes, des colonnes et des diagonales principales ; une autre récréation peut utiliser des cercles ou des chemins. Le cas qui tranche est la liste des groupements soumis à la contrainte : si elle ne contient pas les huit groupements du carré conducteur, il s'agit d'une autre configuration.

Elle ne se confond pas non plus avec une grille où chaque ligne a simplement une somme imposée. Dans une récréation magique additive, plusieurs familles de groupements doivent être contrôlées. Une grille dont les trois lignes valent 15 mais dont une colonne vaut 14 satisfait une contrainte partielle, pas la règle complète du carré conducteur.

Le nombre 15 n'est pas une constante universelle. Il appartient au carré 3 × 3 qui utilise exactement les nombres de 1 à 9 ; si la taille, les nombres ou la règle changent, la valeur commune doit être recalculée. Il faut donc vérifier les données avant de réutiliser ce résultat.

L'égalité des sommes ne porte pas nécessairement sur toutes les collections de cases. Dans le carré conducteur, une diagonale secondaire de trois cases est contrôlée, mais une paire de cases quelconques ne l'est pas. Le symptôme d'une lecture excessive est d'exiger 15 à un groupement qui ne figure pas dans la règle ; il faut revenir à la famille annoncée.

Une variante multiplicative remplace l'opération, par exemple une égalité des produits. Elle ne peut pas être vérifiée avec des additions : le symptôme est de trouver des sommes identiques alors que les produits diffèrent. Il faut identifier l'opération avant tout contrôle.

Le glossaire carré magique approfondit le cas particulier le plus classique : le lecteur y gagne une description précise de cette figure et de ses propriétés propres.

L'article Construire son premier carré magique prolonge l'exemple par une démarche de construction : le lecteur y gagne un point de départ concret pour passer de la vérification à la recherche d'une disposition.