cercle magique

Imaginez une cible traversée par plusieurs lignes droites passant par son centre. Des nombres entiers occupent les points marqués sur les anneaux et les lignes. Additionnez les nombres d'un même anneau, puis ceux d'une même ligne : dans un cercle magique, le même total revient chaque fois. Ce total commun est la constante magique.

Un cercle magique est une configuration d'entiers placés sur plusieurs cercles de même centre et sur des diamètres choisis. Pour une construction donnée, chaque cercle porte un ensemble de positions marquées, tout comme chaque diamètre. La condition magique exige que la somme sur chaque cercle et la somme sur chaque diamètre aient une seule et même valeur. Cette valeur commune s'appelle la constante magique.

Le nombre de cercles, le nombre de diamètres et la manière de répartir les entiers peuvent varier. Employer des entiers consécutifs ou interdire les répétitions constitue une règle supplémentaire de construction, et non une conséquence de la définition source. Les rayons, les angles entre diamètres, les couleurs et l'échelle du dessin ne changent pas la propriété tant que les mêmes nombres restent associés aux mêmes cercles et diamètres.

Le principe rappelle le carré magique, mais les familles de lignes à contrôler diffèrent : lignes et colonnes dans le carré, cercles et diamètres dans la version circulaire. La vérification porte donc sur l'organisation combinatoire des positions, pas sur la seule apparence ronde.

La structure réunit quatre éléments. Les cercles concentriques forment une première famille de parcours. Les diamètres, tous passants par le centre commun, forment la seconde. Les positions marquées indiquent quels nombres appartiennent à chaque parcours. Enfin, les entiers placés à ces positions fournissent les valeurs à additionner.

Chaque position dépend à la fois d'un cercle et d'un diamètre : elle contribue donc à la somme de l'un et de l'autre. Déplacer un nombre vers une position qui n'a pas les mêmes appartenances peut rompre deux égalités. À l'inverse, modifier un rayon ou faire pivoter un diamètre sans changer ces appartenances conserve les sommes. Ces données d'incidence et les valeurs suffisent à reconstruire la configuration et à calculer sa constante.

Prenons deux cercles concentriques coupés par un diamètre horizontal et un diamètre vertical. Huit positions reçoivent une fois chacune les entiers de 1 à 8. Sur le cercle intérieur, les opposés horizontaux portent 1 et 8, les opposés verticaux 2 et 7. Sur le cercle extérieur, les opposés horizontaux portent 3 et 6, les opposés verticaux 4 et 5.

1. Additionnons les quatre nombres du cercle intérieur : 1 + 8 + 2 + 7 = 18.

2. Pour le cercle extérieur, 3 + 6 + 4 + 5 = 18.

3. Le diamètre horizontal donne 1 + 8 + 3 + 6 = 18, et le diamètre vertical donne 2 + 7 + 4 + 5 = 18.

Les quatre parcours ont donc pour constante magique 18. Un contrôle global le confirme : les entiers de 1 à 8 totalisent 36. Les deux cercles se partagent toutes les positions, donc leurs deux sommes attendues totalisent aussi 2 × 18 = 36. La figure rend visibles les quatre paires opposées, chacune de somme 9.

Dans une énigme de récréation mathématique, on complète une position vide en comparant les sommes déjà imposées par son cercle et son diamètre. Si la grille est carrée et demande plutôt des totaux égaux par lignes et colonnes, le carré magique est le modèle adapté.

Pour vérifier une construction, on écrit séparément le total de chaque cercle et de chaque diamètre. Une simple égalité visuelle entre paires opposées ne suffit pas : le critère observable est l'identité de tous les totaux complets.

En combinatoire, on peut oublier les longueurs et ne garder que les appartenances des positions aux parcours. Cette représentation convient lorsque l'enjeu est de réarranger les valeurs ; le dessin circulaire reste préférable pour voir immédiatement les deux familles à équilibrer.

Carré magique. Un carré magique égalise des sommes suivant les lignes et les colonnes d'une grille, avec éventuellement des diagonales selon la convention retenue. Un arrangement dont seuls les cercles et les diamètres ont le même total relève du cercle magique, même si les nombres pourraient être dessinés dans un cadre carré.

Constante magique. La constante est le total commun obtenu ; le cercle magique est toute la disposition qui produit ce total. Dans l'exemple, 18 est la constante magique, tandis que les huit positions numérotées et leurs appartenances forment le cercle magique.

Égalité partielle. Obtenir le même total sur tous les cercles ne suffit pas si un diamètre donne un autre résultat. Il faut contrôler les deux familles complètes avant de qualifier la disposition de magique.

Règles ajoutées. La définition source demande des entiers et un total commun, mais elle n'impose ni la suite 1, 2, 3, … ni l'absence de répétition. Si une énigme ajoute ces contraintes, elles doivent être vérifiées séparément.

Dessin trompeur. Des nombres posés sur des anneaux ne forment pas automatiquement un cercle magique. Le symptôme décisif est un écart entre deux sommes complètes ; il faut alors revoir la répartition des valeurs, et non la régularité graphique des cercles.

Cas minimal sans intérêt. Avec un seul cercle et un seul diamètre portant exactement les mêmes positions, l'égalité est automatique et ne met aucun équilibrage en jeu. Pour obtenir une contrainte combinatoire réelle, il faut au moins deux parcours distincts dont les appartenances ne coïncident pas toutes.

Le glossaire carré magique permet de comparer précisément les familles de sommes imposées par les versions carrée et circulaire.

La fiche constante magique approfondit le rôle du total commun dans les configurations magiques.

L'article Le quatuor mathématique des dynasties Song replace Yang Hui dans le contexte mathématique chinois évoqué par l'exemple historique.