octogramme magique

Imaginez huit nombres disposés aux pointes d'une étoile. Certaines lignes de cette étoile sont choisies à l'avance. L'arrangement devient magique lorsque l'addition des nombres rencontrés sur chacune de ces lignes donne toujours le même total.

Dans une version simple, les pointes opposées sont associées. Les paires 1 et 8, 2 et 7, 3 et 6, puis 4 et 5 ont toutes pour somme 9. La régularité vient donc des nombres et des lignes comptées, pas seulement du dessin de l'étoile.

Un octogramme magique est une étoile à huit branches munie de positions numérotées et d'un ensemble précis de lignes à contrôler. Les positions peuvent se trouver aux pointes, aux intersections, ou aux deux selon la construction choisie. Une constante magique est fixée lorsque la somme des nombres placés sur chaque ligne retenue est identique.

Dans la variante à pointes opposées utilisée ici, les huit valeurs sont notées a₀ à a₇ en tournant autour de l'étoile. La constante magique est notée S. La condition porte sur les quatre diamètres :

Cette règle décrit une variante, non une convention universelle. D'autres octogrammes comptent les côtés des polygones qui composent l'étoile ou ajoutent des intersections. Pour décider si une disposition est magique, il faut donc connaître à la fois les positions autorisées, les lignes retenues et la règle sur les nombres, notamment si les répétitions sont permises.

On veut remplir les huit pointes d'un octogramme avec les entiers de 1 à 8, chacun utilisé une fois. Les quatre lignes contrôlées sont les diamètres reliant deux pointes opposées. Leur total commun visé est 9.

1. Placez 1 au nord et 8 au sud.
2. Placez 2 au nord-est et 7 au sud-ouest.
3. Placez 3 à l'est et 6 à l'ouest.
4. Placez 4 au sud-est et 5 au nord-ouest.

Les quatre vérifications se lisent sur les diamètres :

Chaque entier de 1 à 8 apparaît exactement une fois, et chaque diamètre totalise 9. Le contrôle peut être refait sans dessin en associant chaque entier n à son complément 9 − n : on retrouve successivement 8, 7, 6 et 5.

Dans une énigme de placement, on commence par relever les lignes soumises à la même somme. Si seules les pointes opposées comptent, former des paires complémentaires est plus direct que tester les permutations une à une.

Pour contrôler une solution proposée, on additionne séparément chaque ligne retenue et on vérifie aussi la liste des nombres autorisés. Si les totaux coïncident mais qu'un nombre est répété, la disposition ne respecte pas une consigne imposant des valeurs distinctes.

Pour créer un défi, il faut annoncer la figure, les emplacements à remplir, les lignes comptées et l'ensemble des valeurs. Une recherche exhaustive convient aux petites variantes ; des contraintes de sommes permettent de réduire les essais lorsque le nombre de positions augmente.

Un octogramme est d'abord une figure à huit branches. Il devient magique seulement si des nombres et des lignes de contrôle lui donnent une somme constante. Une étoile dessinée sans nombres tranche donc immédiatement la distinction.

Un carré magique place habituellement des nombres dans une grille carrée et compare ses lignes, ses colonnes et ses diagonales. L'octogramme utilise le réseau d'une étoile : l'absence de grille carrée permet de les séparer.

Une étoile magique peut posséder un autre nombre de branches. Compter les pointes suffit à trancher : huit branches donnent un octogramme, tandis qu'une étoile à cinq branches n'en est pas un.

Le dessin seul ne fixe pas les lignes à additionner. Si deux lecteurs n'obtiennent pas les mêmes totaux en suivant des segments différents, il faut énumérer les lignes retenues avant de tester le caractère magique.

Une somme constante ne garantit pas que tous les nombres sont distincts. Huit pointes portant toutes le nombre 1 donnent 2 sur chaque diamètre, mais cette solution est exclue si la consigne exige les entiers de 1 à 8 utilisés une fois chacun.

Une intersection peut appartenir à plusieurs lignes. L'ajouter deux fois dans une même somme est une erreur, sauf règle explicite de multiplicité. Le bon contrôle consiste à lister les positions de chaque ligne avant l'addition.

Deux dispositions obtenues l'une de l'autre par rotation ou symétrie peuvent être comptées comme une seule solution ou comme plusieurs. Si le nombre de solutions est demandé, la convention d'équivalence doit être précisée avant le dénombrement.

L'article étoile magique replace l'octogramme dans la famille des étoiles numériques et permet de comparer des nombres de branches différents.

La fiche carré magique montre comment la contrainte de somme constante se transpose d'un réseau en étoile à une grille.

La note Les carrés magiques, un sujet toujours d'actualité ouvre sur d'autres recherches et récréations fondées sur des sommes imposées.