étoile magique

Imaginez une étoile dont chaque pointe et chaque croisement porte un nombre. Suivez l'un de ses côtés rectilignes et additionnez les nombres rencontrés. Puis recommencez sur les autres côtés : si le total reste toujours le même, l'étoile est magique.

La forme seule ne suffit donc pas. C'est la répartition des nombres qui crée la propriété magique, et un contrôle consiste à refaire toutes les sommes.

Une étoile magique est une figure étoilée dont tous les sommets extérieurs et tous les points d'intersection sont numérotés. Un nombre appelé somme magique est fixé par la disposition : sur chaque côté rectiligne de l'étoile, la somme des nombres rencontrés doit être égale à ce même nombre.

Dans un hexagramme magique, les douze points portent des nombres distincts. Chacun des six côtés contient quatre points numérotés. La condition porte sur les six sommes, pas seulement sur les deux triangles qui dessinent l'hexagramme. Une configuration particulière est dite diabolique lorsque la somme des six nombres extérieurs et celle des six nombres intérieurs sont, elles aussi, égales à la somme magique.

Le même principe s'applique à d'autres tracés étoilés. Une étoile à cinq branches donne un pentagramme magique ; les versions à sept et huit branches sont respectivement un heptagramme magique et un octagramme magique. Le nombre de positions et le nombre de valeurs additionnées sur un côté dépendent alors du tracé choisi.

Considérons l'hexagramme de la figure. Ses douze données sont les entiers distincts de 1 à 12. En partant de la pointe supérieure et en tournant dans le sens horaire, les pointes extérieures portent 1, 8, 12, 4, 6 et 7. Les six intersections, dans le même sens, portent 2, 11, 3, 5, 10 et 9.

1. Prenons le côté descendant de la pointe supérieure vers la pointe inférieure droite. Les valeurs rencontrées sont 1, 2, 11 et 12 ; leur somme vaut 26.

2. Effectuons le même contrôle sur les cinq autres côtés. Les six calculs sont :

3. Chaque total est égal à 26 : la disposition est donc un hexagramme magique de somme magique 26.

4. Un contrôle global confirme le résultat. La somme des entiers de 1 à 12 vaut 78. Chaque position appartient à deux côtés, donc le total des six lignes vaut deux fois 78, soit 156 ; or 6 × 26 = 156.

Pour vérifier une étoile déjà remplie, on suit chaque côté rectiligne jusqu'à son extrémité et on note son total. Si une seule somme diffère, la disposition n'est pas magique ; un simple contrôle visuel de la symétrie ne suffit pas.

Pour compléter une étoile partiellement remplie, on utilise la somme magique visée. Sur un côté où trois nombres sont connus, le quatrième est la différence entre cette somme et le total des trois nombres. Si plusieurs positions manquent, il faut croiser les contraintes des côtés qui se rencontrent.

Pour comparer deux solutions, on contrôle d'abord le tracé, l'ensemble de nombres autorisé et la somme commune. Une rotation ou un reflet peut seulement présenter autrement la même répartition ; une comparaison position par position serait alors trompeuse.

Un carré magique répartit les nombres dans une grille et impose des sommes communes sur ses lignes, ses colonnes et généralement ses diagonales. Une étoile magique place au contraire les nombres sur un tracé étoilé : ce sont ses côtés rectilignes qui doivent avoir le même total.

Un pentagramme est d'abord une figure géométrique à cinq branches. Il ne devient un pentagramme magique que si ses positions sont numérotées et si toutes les sommes exigées par ses côtés sont égales.

Des totaux égaux ne suffisent pas toujours. Dans l'hexagramme décrit ici, les douze nombres doivent aussi être distincts ; une répétition qui conserve 26 sur chaque côté ne respecte donc pas la définition donnée.

Il faut compter les points d'intersection autant que les pointes extérieures. Oublier les deux intersections situées sur un côté revient à additionner deux nombres au lieu de quatre et invalide le contrôle.

La condition diabolique est beaucoup plus restrictive que l'égalité des six côtés. Dans un hexagramme, chaque position appartient à deux côtés : si la somme magique est notée S et la somme des douze valeurs T, alors $6S=2T6S=2T$. Exiger en plus que les totaux intérieur et extérieur valent chacun S donne $T=2ST=2S$, donc S = 0. Avec les entiers de 1 à 12, dont le total vaut 78, cette condition est impossible, même si une étoile magique ordinaire existe.

Le mot « côté » désigne ici chacune des six lignes qui composent les deux triangles, avec quatre positions par ligne. Un autre tracé étoilé peut imposer un autre nombre de positions ; il faut alors annoncer sa convention avant de tester les sommes.

Le carré magique montre comment une même exigence de somme constante se transpose d'un tracé étoilé à une grille.

Le Pentagramme précise la structure géométrique de la variante à cinq branches mentionnée dans la définition.

L'analyse combinatoire fournit un cadre pour étudier les placements possibles sous plusieurs contraintes simultanées.