Frénicle de Bessy Bernard

Au XVII^e siècle, Bernard Frénicle de Bessy échange à Paris avec Mersenne, Descartes, Fermat et Huygens. Il mène pourtant les mathématiques en amateur, parallèlement à sa charge de conseiller à la Cour des monnaies.

Sa trace la plus durable concerne les carrés magiques. En fixant une représentation commune de carrés identiques par rotation ou réflexion, la forme standard de Frénicle rend leur classement possible sans compter plusieurs fois le même arrangement.

Bernard Frénicle de Bessy (1605-1675) est un mathématicien amateur français, conseiller à la Cour des monnaies de Paris et membre de l'Académie royale des sciences. Il appartient au cercle des correspondants de Mersenne et échange abondamment avec Descartes, Fermat, Huygens et Mersenne. En théorie des nombres, il résout de nombreux problèmes proposés par Fermat.

Ses recherches les plus caractéristiques portent sur les carrés magiques. Un carré magique d'ordre n dispose des nombres dans n lignes et n colonnes de sorte que les lignes, les colonnes et les deux diagonales aient une même somme. Pour comparer et énumérer ces objets, Frénicle établit une représentation normalisée aujourd'hui appelée forme standard de Frénicle. Elle sert à ne conserver qu'un représentant parmi les versions obtenues par rotations et réflexions.

Ses méthodes de construction des carrés magiques d'ordre 4 et les carrés ainsi obtenus paraissent après sa mort, en 1693. On lui attribue aussi la démonstration d'un résultat propre à l'ordre 3 : si les rotations et les réflexions sont considérées comme équivalentes, il n'existe qu'un seul carré magique normal utilisant les nombres de 1 à 9.

Considérons un carré d'ordre 3 composé des neuf nombres de 1 à 9, chacun employé une fois. Leur somme vaut 45 ; répartie entre trois lignes de même somme, elle impose la somme magique 15. Voici un représentant :

1. Additionnez les lignes : 2 + 9 + 4 = 15, 7 + 5 + 3 = 15 et 6 + 1 + 8 = 15.
2. Additionnez les colonnes : 2 + 7 + 6 = 15, 9 + 5 + 1 = 15 et 4 + 3 + 8 = 15.
3. Contrôlez les diagonales : 2 + 5 + 8 = 15 et 4 + 5 + 6 = 15.
4. Effectuez un demi-tour : on obtient 8, 1, 6 sur la première ligne, puis 3, 5, 7 et enfin 4, 9, 2.

Le demi-tour change la disposition visible, mais pas les sommes ni le carré considéré à symétrie près. Une normalisation choisit un seul représentant de cette famille ; c'est le principe qui rend une énumération non redondante.

Pour vérifier un carré magique, additionnez séparément ses lignes, ses colonnes et ses deux diagonales. Une inspection visuelle ne suffit pas : dans l'exemple d'ordre 3, chaque contrôle doit retrouver exactement 15.

Pour classer plusieurs carrés, comparez-les après rotation et réflexion. S'ils se superposent, une forme normalisée évite de les compter comme des solutions différentes ; sinon, ils restent des représentants distincts.

Pour situer l'œuvre de Frénicle, séparez le travail effectué de son vivant de sa date d'impression. Ses constructions d'ordre 4 furent publiées en 1693, soit après sa mort en 1675.

Frénicle de Bessy et la forme standard de Frénicle. Le premier nom désigne le mathématicien ; le second, une représentation normalisée des carrés magiques. Une date biographique concerne la personne, tandis qu'une opération de classement concerne la forme standard.

Les problèmes proposés par Fermat et une œuvre de Fermat. La source indique que Frénicle résolut de nombreux problèmes transmis par Fermat. Elle ne permet pas d'attribuer ces résolutions à Fermat ni de les confondre avec un résultat particulier portant son nom.

Unique ne signifie pas une seule grille visible. À l'ordre 3, l'unicité attribuée à Frénicle vaut à rotation et réflexion près. Si deux grilles se superposent après l'une de ces symétries, il faut les regrouper au lieu de les compter séparément.

Normaliser ne construit pas le carré. La forme standard sélectionne une représentation pour l'énumération et la classification. Pour produire un carré d'ordre 4, il faut une méthode de construction ; les travaux de Frénicle sur ces méthodes furent publiés en 1693.

La publication est posthume. Frénicle meurt en 1675, dix-huit ans avant la publication de 1693. Il faut donc distinguer la réalisation des travaux de leur parution imprimée.

L'article Les carrés magiques, un sujet toujours d'actualité prolonge l'étude vers les recherches et publications consacrées à ces objets.

La fiche Carrés magiques de Bachet permet de rapprocher l'approche de Frénicle d'une autre tradition de construction des carrés magiques.