carré de Khajuraho

Imaginez les nombres de 1 à 16 rangés dans une grille de quatre cases sur quatre. Dans le carré de Khajuraho, chaque ligne et chaque colonne totalise 34. Les deux grandes diagonales donnent aussi 34.

La particularité apparaît lorsque l'on poursuit une diagonale au bord opposé, comme si la grille s'enroulait sur elle-même : ces diagonales brisées totalisent encore 34. C'est cette régularité supplémentaire qui rend le carré pandiagonal.

Le carré de Khajuraho, ou Chautisa Yantra, est un carré magique d'ordre 4 : il possède quatre lignes et quatre colonnes et contient une fois chacun des entiers de 1 à 16. La somme commune, appelée constante magique, vaut 34. Elle s'obtient en partageant entre quatre lignes la somme de tous les nombres : $(1+2+\cdots +16)\mathrm{/}4=136\mathrm{/}4=34(1+2+\backslash cdots+16)/4=136/4=34$.

Son caractère pandiagonal, également qualifié de diabolique dans la source, impose davantage que les égalités usuelles. Chacune des quatre lignes, chacune des quatre colonnes, les deux diagonales principales et toutes les diagonales brisées ont pour somme 34. Une diagonale brisée se poursuit au bord opposé de la grille ; elle contient ainsi une case de chaque ligne et une case de chaque colonne.

Le carré est attesté par une inscription dans un temple de Khajuraho, en Inde centrale, construit à la fin du premier millénaire. Nārāyaṇa Paṇḍita a étudié au XIV^e siècle les carrés panmagiques d'ordre 4 formés avec les entiers de 1 à 16 : on en compte 384 lorsque les rotations et les réflexions restent des dispositions distinctes, soit 48 classes lorsqu'on les identifie. Bernard Frénicle de Bessy a également étudié ce carré dans un travail publié après sa mort en 1693.

Considérons la disposition du Chautisa Yantra reproduite par la figure. Données : les seize entiers de 1 à 16 occupent une fois chacun une grille 4×4 ; la somme à contrôler est 34.

1. Additionnons la première ligne : 7 + 12 + 1 + 14 = 34.
2. Contrôlons la première colonne : 7 + 2 + 16 + 9 = 34.
3. Suivons la diagonale principale descendante : 7 + 13 + 10 + 4 = 34.
4. Suivons enfin une diagonale brisée : après 14, le parcours reprend au bord gauche avec 2, puis continue par 3 et 15. On obtient 14 + 2 + 3 + 15 = 34.

Ces quatre contrôles retrouvent la même constante magique. Pour un contrôle complet du caractère pandiagonal, il faut refaire l'addition pour toutes les lignes, colonnes et diagonales brisées, et pas seulement pour celles choisies ici.

Pour vérifier la grille, additionnez d'abord les lignes et les colonnes. Ce contrôle rapide repère une erreur de copie. Il ne suffit toutefois pas à établir le caractère pandiagonal : les diagonales brisées doivent aussi donner 34.

Pour suivre une diagonale brisée, conservez la même direction lorsque le bord est atteint et reprenez au bord opposé. Ce geste évite de confondre une rupture du dessin avec la fin de la diagonale.

Pour former le tapis magique décrit par la source, juxtaposez des copies du carré. Le bon test ne porte alors pas seulement sur chaque copie visible : toute fenêtre de quatre lignes sur quatre colonnes doit être magique, même si elle chevauche plusieurs copies.

Un carré magique quelconque. L'égalité des lignes, des colonnes et des deux diagonales principales caractérise le contrôle habituel. Le carré de Khajuraho exige en plus l'égalité de toutes les diagonales brisées : une grille qui échoue sur 14 + 2 + 3 + 15 n'est donc pas pandiagonale.

L'ordre et la constante magique. L'ordre 4 décrit le nombre de lignes et de colonnes ; il ne détermine pas à lui seul la constante magique. Pour le carré normal décrit ici, qui contient les entiers de 1 à 16, cette constante vaut 34, et non 4.

Le carré historique et la famille étudiée par Nārāyaṇa. Le Chautisa Yantra désigne ici le carré inscrit à Khajuraho. Les 384 carrés panmagiques d'ordre 4 mentionnés par la source forment un ensemble plus large.

Un contrôle partiel peut tromper. Retrouver 34 sur quatre lignes ne garantit ni les colonnes ni les diagonales. Le symptôme est une seule famille de sommes vérifiée ; il faut contrôler séparément chaque famille exigée.

Le bord ne coupe pas une diagonale brisée. Dans une grille 4×4, le parcours doit toujours comporter quatre cases. S'il s'arrête après une ou deux cases au bord, il faut reprendre sur le bord opposé, dans la même direction.

Le nombre 384 intervient dans deux dénombrements distincts. Il y a 384 dispositions panmagiques d'ordre 4 formées avec les entiers de 1 à 16 lorsque les rotations et les réflexions sont comptées séparément, soit 48 classes modulo les huit symétries géométriques du carré. Par ailleurs, le groupe complet des symétries de l'hypercube de dimension 4 possède lui aussi 384 éléments. Cette égalité numérique n'établit pas d'isomorphisme entre les structures.

La propriété du tapis doit être testée sur les jointures. Une fenêtre 4×4 entièrement contenue dans une copie ne suffit pas. Il faut aussi vérifier celles qui chevauchent deux ou plusieurs copies, puisque la propriété annoncée concerne tout sous-carré 4×4.

Le glossaire carré magique replace le Chautisa Yantra dans la famille définie par l'égalité des sommes.

L'article Construire son premier carré magique prolonge la lecture par une construction concrète d'un objet de la même famille.

L'entrée hypercube éclaire cet objet de dimension 4, dont le groupe complet de symétries possède 384 éléments : ce dénombrement est distinct de celui des carrés panmagiques.