AnalyseNotion · Glossaire
carré antimagique
Un carré antimagique d'ordre n est un arrangement carré des entiers de 1 à n², dans lequel les sommes des éléments de chaque ligne, de chaque colonne et des deux diagonales principales forment une suite d'entiers consécutifs (toutes distinctes et sans lacune). Il s'agit d'un cas particulier de carré hétéromagique, pour lequel on exige seulement que toutes ces sommes soient distinctes, sans contrainte de consécutivité. On peut montrer qu'il n'existe pas de carré antimagique d'ordre 2 ni d'ordre 3.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître la condition de sommes toutes distinctes et sans lacune.
- Vérifier pas à pas un carré antimagique d'ordre 4.
- Distinguer un carré antimagique d'un carré magique, hétéromagique ou latin.
- Repérer les erreurs portant sur les diagonales, les valeurs admises et les petits ordres.
En clair
Imaginez une grille carrée remplie avec chaque entier d'une série, utilisé une seule fois. On additionne les nombres de chaque rangée, de chaque colonne et des deux grandes diagonales.
Dans un carré antimagique, ces résultats ne sont pas égaux. Ils se suivent exactement, comme 29, 30, 31 et ainsi de suite, sans doublon ni nombre manquant. Le défi consiste donc à organiser les cases pour obtenir une régularité parmi des sommes toutes différentes.
Définition
Un carré antimagique d'ordre n est une grille de n lignes et n colonnes contenant exactement une fois chacun des entiers de 1 à n2. On calcule la somme de chacune des n lignes, de chacune des n colonnes et des deux diagonales principales. On obtient donc 2n + 2 sommes, qui doivent être toutes distinctes et constituer un intervalle d'entiers consécutifs.
En notant S l'ensemble de ces sommes et m la plus petite d'entre elles, la condition s'écrit :
Un carré hétéromagique impose seulement que ces 2n + 2 sommes soient différentes : des lacunes entre elles restent permises. L'adjectif « antimagique » n'indique donc pas un simple contraire du carré magique ; il ajoute la condition précise de consécutivité. Aucun carré antimagique n'existe aux ordres 2 et 3.
Un exemple, pas à pas
Prenons une grille d'ordre 4. Les données sont les seize entiers de 1 à 16, chacun placé une fois. Il faut contrôler quatre lignes, quatre colonnes et deux diagonales principales, soit dix sommes. La grille choisie est la suivante :
1. Additionnons les lignes, de haut en bas : 29, 32, 38 et 37.
2. Additionnons les colonnes, de gauche à droite : 35, 36, 31 et 34.
3. Les deux diagonales principales donnent 5 + 13 + 11 + 4 = 33 et 15 + 2 + 6 + 7 = 30.
4. Rangeons les dix résultats : 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38. Le contrôle est refaisable : chaque entier de cet intervalle apparaît exactement une fois. La grille est donc antimagique.
En pratique
Dans une énigme de construction, on place les entiers disponibles puis on tient un relevé séparé des sommes de lignes, de colonnes et de diagonales. Dès qu'un résultat se répète, l'arrangement ne convient pas et il faut déplacer des valeurs.
Pour vérifier une grille proposée, il ne suffit pas de constater que les sommes diffèrent. On les trie : si chaque écart vaut 1, le carré est antimagique ; si les résultats sont distincts mais présentent une lacune, il est seulement hétéromagique.
Le même calcul permet d'écarter un carré magique. Dans celui-ci, toutes les lignes, colonnes et diagonales principales ont une somme commune, alors que le critère antimagique exige des résultats tous différents.
À ne pas confondre
Carré magique. Son critère est l'égalité des sommes de toutes les lignes, colonnes et diagonales principales. Si deux de ces sommes diffèrent, la grille n'est déjà plus magique ; un carré antimagique exige au contraire qu'elles diffèrent toutes.
Carré hétéromagique. Ses sommes doivent être distinctes, mais elles peuvent présenter des écarts. Une grille dont les résultats sont 29, 30, 31, 33 et d'autres valeurs distinctes peut être hétéromagique, mais la lacune à 32 interdit de la qualifier d'antimagique.
Carré latin. Il est défini par la répétition de symboles, chacun apparaissant une fois par ligne et par colonne. Une grille contenant une seule fois chaque entier de 1 à n2 et testée par ses sommes relève d'un autre critère.
Limites et pièges
Petits ordres. Aucun arrangement ne satisfait la définition aux ordres 2 et 3. L'ordre 1 échoue également si l'on compte séparément ligne, colonne et diagonales : ces quatre sommes coïncident au lieu d'être distinctes. L'exemple d'ordre 4 montre le premier ordre réalisable parmi ceux examinés ici.
Mauvaises diagonales. Le test porte sur les deux diagonales principales, celles qui relient des coins opposés. Ajouter les diagonales brisées ou tous les segments obliques change le problème ; il faut revenir aux 2n + 2 sommes de la définition.
Valeurs simplement consécutives. Remplir les cases avec 0 à n2 − 1 peut conserver la consécutivité des sommes après translation, mais ne respecte pas la convention donnée ici. Il faut employer exactement les entiers de 1 à n2.
Contrôle incomplet. Une suite consécutive obtenue avec les seules lignes et colonnes ne suffit pas. Les deux sommes diagonales doivent aussi être distinctes de toutes les autres et combler exactement les deux valeurs restantes de l'intervalle.
Pour aller plus loin
Le carré magique fournit le contraste essentiel : les mêmes familles de lignes sont contrôlées, mais leurs sommes doivent toutes être égales.
L'article Construire son premier carré magique permet de comparer concrètement une construction à somme commune avec la recherche de sommes consécutives.
Le carré bimagique prolonge l'étude des contraintes de sommes en imposant un second contrôle après élévation au carré des entrées.
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