carré géomagique

Imaginez une boîte carrée divisée en cases, avec, dans la variante présentée ici, une pièce géométrique différente dans chacune. Au lieu d’additionner des nombres, on rapproche les pièces d’une ligne pour former une silhouette, sans les superposer.

Le défi est que chaque ligne, chaque colonne et chacune des deux diagonales reconstituent exactement la même silhouette de référence. Les pièces sont souvent des polyominos, et la règle peut autoriser leur retournement.

Un carré géomagique d’ordre n est une grille carrée de n lignes et n colonnes, donc de n² cases. Dans la variante retenue ici, chaque case contient une figure géométrique différente des autres, souvent un polyomino. L’« addition » n’est pas numérique : elle consiste à juxtaposer les figures choisies, sans recouvrement, afin de composer une figure cible.

La condition géomagique porte sur les n lignes, les n colonnes et les deux diagonales principales. Pour chacun de ces groupes de n figures, un assemblage autorisé doit donner la même figure géométrique de référence. Si le retournement des pièces est admis, cette convention fait partie de la règle de la construction ; elle doit rester identique pour tous les assemblages contrôlés.

Lee Sallows, ingénieur électronicien britannique né en 1944, a introduit l’idée en 2001 dans le domaine des mathématiques récréatives. Cette transposition géométrique ne conserve pas toutes les limites du modèle numérique : aucun carré magique numérique d’ordre 2 à nombres tous distincts n’existe, tandis qu’au moins un carré géomagique d’ordre 2 existe. Des constructions inspirées du carré magique de Dürer dans Melancolia I font aussi apparaître sa constante 34.

Examinons un candidat d’ordre 2. Les quatre figures distinctes A, B, C et D sont rangées avec A et B sur la première ligne, puis C et D sur la seconde. Chacune est une pièce discontinue formée de six secteurs triangulaires parmi quinze ; les secteurs blancs du schéma ne lui appartiennent pas. La convention autorise rotations et retournements. Le symbole ⊕ désigne une juxtaposition sans recouvrement, et F la cible discontinue de douze secteurs, avec les trois mêmes lacunes dans chaque assemblage.

1. Assemblez A avec B, puis C avec D : les deux lignes doivent donner F.
2. Assemblez A avec C, puis B avec D : les deux colonnes doivent aussi donner F.
3. Assemblez A avec D, puis B avec C : les deux diagonales doivent encore donner F.
4. Contrôlez à chaque fois l’absence de recouvrement et l’emploi de la même règle de retournement.

Les six contrôles se résument par les égalités suivantes :Le candidat est géomagique si les six assemblages produisent réellement la même figure F. Vérifier seulement les lignes ne suffit donc pas.

Pour reconnaître un carré géomagique, repérez d’abord une grille carrée remplie de figures et vérifiez si la convention retenue exige qu’elles soient différentes. Reconstituez ensuite la cible avec chaque ligne, chaque colonne et chaque diagonale, en respectant les transformations annoncées.

Pour tester une construction, notez séparément les assemblages qui réussissent et celui qui échoue. Une seule silhouette différente, un recouvrement ou une pièce manquante invalide le candidat ; un simple puzzle de pavage reste l’alternative si aucune égalité commune n’est exigée.

Pour relier géométrie et arithmétique, comparez la figure cible commune à la somme constante d’un carré magique classique. Les constructions inspirées du carré de Dürer rendent notamment visible la constante 34 sous une forme géométrique.

Carré magique numérique. Ses cases contiennent des nombres et le critère se vérifie par des additions donnant une même constante. Dans un carré géomagique, les cases contiennent des figures et le test porte sur leur juxtaposition en une même forme. L’ordre 2 tranche nettement : le cas numérique à nombres tous distincts est impossible, mais un cas géomagique existe.

Pavage par polyominos. Un pavage demande à des pièces de couvrir une région sans trou ni recouvrement. Il ne devient géomagique que si les pièces sont organisées dans une grille et si chaque ligne, chaque colonne et chaque diagonale recompose la même cible.

Contrôle incomplet. Pour une grille dont l’ordre est le nombre n, il faut examiner n lignes, n colonnes et deux diagonales principales, soit 2n + 2 assemblages. Si seules les lignes réussissent, il faut poursuivre les essais : la propriété géomagique n’est pas établie.

Transformations implicites. Une pièce peut sembler compléter la cible seulement après retournement. Il faut annoncer si cette opération est autorisée et appliquer la même convention partout, au lieu de changer la règle selon l’assemblage.

Figures répétées. Dans la variante retenue ici, obtenir plusieurs fois la silhouette cible ne suffit pas si deux cases contiennent la même figure : la convention exige n² figures toutes différentes. Il faut remplacer la répétition puis reprendre tous les contrôles.

Piège de l’ordre 2. L’impossibilité connue concerne le carré magique numérique à nombres tous distincts, pas son analogue géométrique. À ce seuil, il faut examiner les assemblages de figures au lieu de transférer automatiquement la conclusion arithmétique.

Le glossaire carré magique précise le modèle numérique dont la géomagie transpose la somme constante.

L’article Construire son premier carré magique donne un prolongement pratique pour travailler d’abord avec des nombres.

La note Redécouvrir le génie de Dürer replace l’inspiration mentionnée par la fiche dans l’univers de l’artiste.