AutreNotion · Glossaire
carré magique multiplicatif
Un carré magique multiplicatif est un carré magique dans lequel l'opération de sommation est remplacée par la multiplication. Les produits des éléments de chaque ligne, de chaque colonne et des deux diagonales principales sont tous égaux à une même valeur, appelée constante multiplicative du carré. Cette structure est l'analogue multiplicatif du carré magique additif classique.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les huit produits qui doivent partager une même constante.
- Vérifier pas à pas un carré 3 × 3 de constante 216.
- Distinguer le carré multiplicatif du carré additif et du carré semi-magique.
- Repérer les pièges liés aux zéros, aux signes et aux arrondis.
En clair
Imaginez neuf nombres rangés dans une grille de trois cases sur trois. Multipliez les trois nombres d'une ligne : le résultat doit rester le même pour chacune des trois lignes. Le même contrôle vaut pour les colonnes et pour les deux diagonales qui relient des coins opposés.
Cette valeur commune est la constante multiplicative. Les nombres n'ont pas besoin d'avoir la même somme : c'est leur produit qui organise tout le carré.
Définition
Un carré magique multiplicatif d'ordre n est une grille carrée de n lignes et n colonnes. Chaque case contient un nombre. Si l'on note aij le nombre situé sur la ligne i et la colonne j, il existe une même constante multiplicative M pour toutes les directions exigées. Les produits de chacune des lignes, de chacune des colonnes et des deux diagonales principales doivent vérifier :
La première égalité est imposée pour chaque ligne i, la deuxième pour chaque colonne j. Les deux derniers produits correspondent aux diagonales principales. Selon les conventions d'un problème, les valeurs peuvent être distinctes ou répétées ; cette contrainte supplémentaire ne fait pas partie de la définition générale.
Un exemple, pas à pas
Considérons la grille d'ordre 3 suivante. Ses neuf valeurs sont 3, 4, 18, 36, 6, 1, 2, 9 et 12, disposées ainsi :
1. Multipliez les valeurs de chaque ligne : 3 × 4 × 18 = 216, 36 × 6 × 1 = 216 et 2 × 9 × 12 = 216.
2. Contrôlez les colonnes : 3 × 36 × 2 = 216, 4 × 6 × 9 = 216 et 18 × 1 × 12 = 216.
3. Contrôlez les diagonales principales : 3 × 6 × 12 = 216 et 18 × 6 × 2 = 216.
2. Contrôlez les colonnes : 3 × 36 × 2 = 216, 4 × 6 × 9 = 216 et 18 × 1 × 12 = 216.
3. Contrôlez les diagonales principales : 3 × 6 × 12 = 216 et 18 × 6 × 2 = 216.
Les huit produits exigés valent exactement 216. La grille est donc un carré magique multiplicatif de constante multiplicative 216. Le contrôle peut être refait direction par direction dans la représentation : aucune somme n'intervient dans le verdict.
En pratique
Dans une énigme, on commence par calculer le produit d'une ligne complète. Cette valeur devient la constante cible. Pour une case manquante, on divise alors cette constante par le produit des autres cases de la même direction, à condition que ce produit soit non nul.
Pour vérifier une grille proposée, il faut contrôler les lignes, les colonnes et les deux diagonales. Une égalité limitée aux lignes et aux colonnes ne suffit pas : les diagonales font partie du test.
Avec des nombres strictement positifs, les logarithmes offrent une autre méthode de construction : transformer les produits en sommes, bâtir un carré additif, puis revenir aux nombres de départ par l'opération inverse. Le calcul direct reste préférable pour une petite grille entière comme celle de constante 216.
À ne pas confondre
Avec un carré magique additif. Dans un carré additif, ce sont les sommes qui coïncident. La première ligne de l'exemple vaut 3 + 4 + 18 = 25, tandis que la deuxième vaut 36 + 6 + 1 = 43 : la grille n'est donc pas additive.
Avec un carré semi-magique multiplicatif. Un carré semi-magique impose la même constante aux lignes et aux colonnes, sans nécessairement l'imposer aux diagonales. Une grille dont les six produits horizontaux et verticaux coïncident, mais dont une diagonale diffère, échoue au critère du carré magique multiplicatif.
Avec une table de multiplication. Une table inscrit dans chaque case le produit des en-têtes de sa ligne et de sa colonne. Elle suit une règle locale de calcul ; elle n'exige pas un produit commun sur toutes les lignes, colonnes et diagonales.
Limites et pièges
Présence de zéro. Si une case vaut 0, chaque direction qui la traverse a pour produit 0. Pour obtenir une constante nulle, toutes les autres lignes, colonnes et diagonales doivent aussi contenir au moins un zéro. Il faut vérifier ces huit directions au lieu de conclure dès le premier produit nul.
Valeurs répétées. La définition générale n'impose pas que les cases soient distinctes. Une énigme peut ajouter cette règle ; il faut alors la traiter comme une contrainte du problème, et non comme une conséquence de l'égalité des produits.
Nombres négatifs. Les signes comptent autant que les valeurs absolues. Deux directions peuvent avoir la même valeur absolue mais des produits opposés ; elles ne partagent donc pas la même constante. La méthode logarithmique réelle ne s'applique directement qu'aux cases strictement positives.
Valeurs approchées. Avec des nombres décimaux arrondis, de petits écarts de produit peuvent venir de la précision choisie. Il faut conserver assez de chiffres pendant le calcul et comparer les résultats avec une tolérance annoncée, plutôt que d'affirmer une égalité exacte.
Pour aller plus loin
Pour des cases strictement positives, prendre le logarithme de chaque valeur transforme l'égalité des produits en égalité des sommes. Cette correspondance relie les carrés magiques multiplicatifs aux constructions additives, tout en laissant de côté les zéros et les nombres négatifs.
L'article Construire son premier carré magique présente une construction additive, utile pour examiner ensuite cette correspondance par logarithmes.
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