ArithmétiqueNotion · Glossaire
carré magique de Dürer
Le carré magique de Dürer est un carré d'ordre 4 figurant dans la gravure Melancolia I d'Albrecht Dürer. Il contient une fois chacun des entiers de 1 à 16, disposés de sorte que chaque ligne, chaque colonne et chacune des deux diagonales principales ont pour somme 34 : il permet ainsi de saisir et de vérifier concrètement le principe d'un carré magique.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier la disposition des entiers de 1 à 16.
- Vérifier la constante 34 sur plusieurs configurations.
- Repérer la date 1514 dans la dernière ligne.
- Éviter de croire que tout bloc 2×2 totalise 34.
En clair
Sur la gravure Melancolia I, seize cases rassemblent une fois chacune les nombres de 1 à 16. En additionnant les quatre nombres d'une ligne, d'une colonne ou de l'une des deux grandes diagonales, on obtient toujours 34.
Dürer a aussi placé 15 et 14 au milieu de la dernière ligne. Lus côte à côte, ils forment 1514, l'année de la gravure. La grille associe ainsi une règle arithmétique visible à un repère historique.
Définition
Le carré magique de Dürer est une grille de quatre lignes et quatre colonnes, donc un carré d'ordre 4. Ses seize cases contiennent exactement une fois chacun des entiers de 1 à 16. Dans sa disposition figurant sur Melancolia I, la grille est
La constante magique est le total commun des quatre lignes, des quatre colonnes et des deux diagonales principales. Comme la somme des entiers de 1 à 16 vaut 136 et que les quatre lignes les répartissent, ce total est .
Cette disposition possède des égalités supplémentaires qui ne définissent pas à elles seules un carré magique. Chacun des quatre blocs 2×2 situés dans un angle vaut 34, tout comme le bloc central formé par 10, 11, 6 et 7. Enfin, 15 et 14 occupent les deux cases centrales de la dernière ligne et donnent la lecture 1514.
Un exemple, pas à pas
Prenons la grille dans l'orientation de la gravure. Les données à contrôler sont les seize entiers de 1 à 16, quatre nombres par ligne, la constante annoncée 34 et les deux cases centrales 15 et 14 de la dernière ligne.
1. Additionnons la première ligne : 16 + 3 + 2 + 13 = 34.
2. Contrôlons une colonne et une diagonale : 3 + 10 + 6 + 15 = 34, puis 16 + 10 + 7 + 1 = 34.
3. Testons deux configurations supplémentaires : le bloc d'angle supérieur gauche donne 16 + 3 + 5 + 10 = 34, et le bloc central donne 10 + 11 + 6 + 7 = 34.
4. Vérifions enfin le repère historique : les deux valeurs centrales de la dernière ligne se lisent 15 puis 14, soit 1514. Les calculs précédents contrôlent des familles différentes ; pour certifier entièrement la propriété magique, on refait le même total sur les autres lignes, colonnes et sur l'autre diagonale.
En pratique
Pour reconnaître la grille, commencez par vérifier qu'elle utilise une fois chacun des nombres de 1 à 16. Contrôlez ensuite plusieurs lignes, colonnes et les deux diagonales : chacune doit totaliser 34.
Pour retrouver son lien avec la gravure, observez la dernière ligne. La succession 4, 15, 14, 1 place 15 et 14 au centre ; leur lecture donne 1514 sans modifier les sommes magiques.
Pour étudier ses propriétés supplémentaires, délimitez un groupe de quatre cases avant de calculer. Les quatre blocs d'angle et le bloc central valent 34. Si le groupe choisi n'appartient pas à l'une de ces familles, faites le calcul au lieu de supposer que le total reste constant.
À ne pas confondre
Un carré magique d'ordre 4 quelconque. Il suffit que ses lignes, colonnes et diagonales principales aient un même total. Pour reconnaître celui de Dürer, il faut en plus retrouver sa disposition précise et 15, 14 au centre de la dernière ligne.
Un sudoku. Un sudoku impose l'absence de répétition dans des lignes, des colonnes et des régions, mais pas une somme commune. Une grille 4×4 totalisant 34 selon les directions requises relève ici du carré magique, pas du sudoku.
Un carré seulement semi-magique. Si les lignes et les colonnes ont le même total, mais qu'une diagonale principale échoue, la condition donnée pour le carré de Dürer n'est pas satisfaite. Le test des deux diagonales tranche immédiatement.
Limites et pièges
Tous les blocs 2×2 ne valent pas 34. Les quatre blocs d'angle et le bloc central ont cette somme, mais le bloc supérieur médian donne 3 + 2 + 10 + 11 = 26. Il faut donc nommer la configuration testée avant de généraliser.
Quelques totaux ne suffisent pas. Vérifier une ligne, une colonne et une diagonale illustre le mécanisme, mais ne certifie pas toute la grille. Il faut contrôler les quatre lignes, les quatre colonnes et les deux diagonales principales.
L'orientation compte pour lire 1514. Une rotation ou un reflet conserve les sommes des lignes, colonnes et diagonales, mais peut déplacer ou inverser les deux nombres centraux. Pour interpréter la date, il faut garder la disposition de la gravure.
Pour aller plus loin
Le glossaire carré magique replace l'exemple de Dürer dans la définition générale fondée sur les lignes, les colonnes et les diagonales.
L'article Construire son premier carré magique prolonge la lecture par une démarche de construction.
La notice Dürer Albrecht situe l'auteur auquel cette disposition est attachée.
Enfin, Redécouvrir le génie de Dürer ouvre sur le contexte culturel de son œuvre.
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