carré panmagique

Imaginez une grille carrée dont les bords opposés se rejoignent, comme si elle était dessinée sur un tore. Une diagonale qui sort par le bord droit reprend alors au bord gauche, une ligne plus bas.

Dans un carré panmagique, chaque ligne, chaque colonne et chaque diagonale ainsi prolongée donne le même total. Il ne suffit donc pas que les deux diagonales habituelles fonctionnent : toutes leurs versions décalées doivent aussi partager la constante magique.

Un carré panmagique, aussi appelé carré pandiagonal ou carré diabolique, est un carré magique d’ordre n. Ses n lignes, ses n colonnes et les deux familles de n diagonales obtenues en raccordant les bords opposés ont une même somme M, appelée constante magique. Les positions sont lues cycliquement : après la dernière colonne vient la première, et après la dernière ligne vient la première.

Si le nombre placé à la ligne i et à la colonne j est noté a_i,j, les indices de colonne sont pris modulo n. Pour chaque décalage d, les deux diagonales cycliques doivent vérifier :Ces conditions s’ajoutent aux sommes des lignes et des colonnes. Elles incluent les deux diagonales principales, mais exigent aussi toutes les diagonales brisées.

Lorsque les cases contiennent une fois chacune les entiers de 1 à n², le carré est dit normal et sa constante vaut M = n(n² + 1)/2. La panmagie ne suppose toutefois pas, à elle seule, cette normalité. Les carrés cabalistiques constituent le cas particulier qui cumule la panmagie et la multimagie.

On considère un carré normal d’ordre 4 contenant une fois chacun des entiers de 1 à 16. Les données sont les seize valeurs de la matrice, quatre cases par ligne, et la lecture cyclique des colonnes.

1. La somme des entiers de 1 à 16 vaut 136. Répartie entre quatre lignes, elle donne la constante M = 136 / 4 = 34.

2. Les lignes donnent 34. Par exemple, la deuxième fournit 12 + 13 + 2 + 7 = 34. Les colonnes donnent aussi 34 ; la troisième fournit 11 + 2 + 16 + 5 = 34.

3. Une diagonale principale donne 1 + 13 + 16 + 4 = 34. Une diagonale brisée part de 8, poursuit par 2 et 9, puis reprend au bord gauche sur 15 : 8 + 2 + 9 + 15 = 34.

4. Le contrôle complet consiste à refaire ce calcul pour les quatre départs de chacune des deux pentes. Les huit sommes obtenues valent 34 : ce carré est bien panmagique.

Pour contrôler une grille proposée comme panmagique, on calcule d’abord les sommes des lignes et des colonnes. Si elles diffèrent, la grille n’est même pas un carré magique et le contrôle peut s’arrêter.

Si ces premiers totaux coïncident, on suit ensuite chaque pente diagonale en faisant reprendre le trajet sur le bord opposé. Une seule somme différente suffit à écarter la panmagie, même lorsque les deux grandes diagonales valent la constante magique.

Dans un problème de construction, le carré magique ordinaire est l’alternative moins contraignante. On recherche un carré panmagique seulement lorsque l’énoncé impose explicitement les diagonales brisées ou une lecture toroïdale.

Carré magique. Il impose la même somme aux lignes, aux colonnes et aux deux diagonales principales. Si une diagonale brisée donne un autre total, le carré peut être magique sans être panmagique.

Carré hypermagique. La source distingue cette notion du carré panmagique. Le critère décisif pour la présente fiche reste donc la totalité des diagonales brisées, et non la seule étiquette « hypermagique », dont les conventions peuvent varier.

Carré multimagique. Ses propriétés magiques persistent lorsque les valeurs sont élevées à certaines puissances. Une grille peut être panmagique sans satisfaire ce critère ; un carré cabalistique réunit les deux conditions.

Deux diagonales ne suffisent pas. Le symptôme est un carré dont lignes, colonnes et diagonales principales ont le bon total, mais dont un trajet diagonal décalé échoue. Il faut contrôler les n départs dans chacune des deux pentes.

Une diagonale brisée compte exactement n cases. Elle ne s’arrête pas au bord et ne visite pas une case supplémentaire après son retour au point de départ. Il faut poursuivre les indices modulo n pendant exactement n pas.

La constante 34 n’est pas universelle. Elle appartient à l’exemple normal d’ordre 4. Pour un carré normal d’ordre n, on recalcule M = n(n² + 1)/2 ; pour d’autres valeurs, on divise leur somme totale par n.

Panmagique ne signifie pas automatiquement multimagique. Si les sommes cessent de coïncider après élévation des valeurs à une puissance demandée, il faut conserver seulement la qualification panmagique. Le terme « cabalistique » est réservé ici au cumul des deux propriétés.

Le glossaire carré magique permet de repartir des contraintes communes sur les lignes, les colonnes et les deux diagonales principales.

L’entrée Diagonale précise le vocabulaire géométrique avant d’aborder le raccordement cyclique des bords.

La fiche carré hypermagique aide à comparer deux renforcements distincts du carré magique sans confondre leurs critères.