AutreNotion · Glossaire
carré hypermagique
Un carré hypermagique est un carré magique possédant la propriété supplémentaire que les diagonales brisées — c'est-à-dire les diagonales qui se prolongent de l'autre côté du carré par effet de tore — donnent elles aussi la constante magique caractéristique du carré. Cette propriété le distingue du carré magique ordinaire, pour lequel seules les lignes, colonnes et diagonales principales sont contraintes. Le carré hypermagique est donc un cas particulier du carré panmagique.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Définir le carré hypermagique sans le confondre avec un carré magique ordinaire.
- Comprendre le retour des diagonales par les bords.
- Vérifier deux sommes dans un exemple d'ordre 4.
En clair
Imaginez une grille dont les nombres s'additionnent toujours de la même façon sur chaque ligne et chaque colonne. Dans un carré hypermagique, le même total apparaît aussi sur des diagonales qui sortent par un bord et reviennent par le bord opposé. La grille se lit donc comme si ses côtés étaient collés pour former un tore. Le nombre commun est la constante magique. Cette règle supplémentaire rend le carré plus régulier qu'un carré magique ordinaire.
Définition
Un carré hypermagique est un carré magique dans lequel les diagonales brisées ont, elles aussi, la constante magique. Pour un carré de côté n, une diagonale brisée suit un déplacement régulier d'une case vers la droite et d'une case vers le bas, ou vers le haut, en revenant au bord opposé lorsqu'elle sort de la grille. La lecture se fait donc modulo n, comme sur un tore.
La constante magique est le total commun à chaque ligne, chaque colonne et aux diagonales retenues. Dans un carré normal d'ordre n contenant les entiers de 1 à n², elle vaut . Pour l'ordre 4, le total attendu est donc . Le terme « hypermagique » est employé ici pour cette propriété renforcée ; la source le présente comme un cas particulier du carré panmagique.
Un exemple, pas à pas
Considérons la grille d'ordre 4 suivante, qui contient chaque entier de 1 à 16 une seule fois :
Les données sont l'ordre n = 4, les nombres 1 à 16 et le total visé M = 34. La grille est :
Pour vérifier une diagonale brisée, on revient au premier bord dès qu'un déplacement sort de la grille.
La diagonale descendante qui commence dans la première ligne et la deuxième colonne donne 8 + 2 + 9 + 15 = 34.
La diagonale montante qui commence dans la première ligne et la première colonne donne 1 + 10 + 16 + 7 = 34.
La diagonale montante qui commence dans la première ligne et la première colonne donne 1 + 10 + 16 + 7 = 34.
Le contrôle doit porter sur les quatre départs de chaque sens. Par exemple, les quatre diagonales descendantes donnent respectivement 34, 34, 34 et 34. La grille satisfait donc ce test, en plus du contrôle des lignes et des colonnes.
En pratique
Pour vérifier une grille candidate, on commence par additionner ses lignes et ses colonnes. Le même total doit apparaître partout, sinon la grille n'est déjà pas un carré magique.
On teste ensuite les diagonales brisées en imaginant les bords opposés raccordés. Un déplacement diagonal ne s'arrête donc jamais au bord : il réapparaît de l'autre côté.
Un tableau d'addition ou un court programme peut aider à parcourir tous les départs. La vérification exhaustive est préférable à une impression visuelle, car une seule diagonale déficiente suffit à invalider la propriété.
À ne pas confondre
Un carré magique ordinaire impose le même total aux lignes, aux colonnes et aux deux diagonales principales. Le critère qui tranche est le test des diagonales brisées : s'il échoue, la grille reste éventuellement magique, mais elle n'est pas hypermagique selon la définition retenue ici.
Le carré panmagique est le voisin conceptuel le plus direct. La source classe le carré hypermagique parmi ses cas particuliers ; il faut donc conserver cette relation de classement plutôt que traiter les deux termes comme des synonymes automatiques.
Limites et pièges
Le mot « diagonale » peut tromper : une diagonale brisée n'est pas un segment rectiligne continu dans le dessin de la grille. Elle devient continue seulement après le raccord conceptuel des bords, comme sur un tore. Il faut suivre les cases et non prolonger un trait à l'extérieur du carré.
La constante dépend de l'ordre et des valeurs utilisées. Pour un carré normal d'ordre 4, le seuil de contrôle est M = 34 ; une somme différente signale soit une grille qui n'est pas hypermagique, soit un autre ensemble de nombres.
Une seule diagonale principale correcte ne suffit pas. La propriété exige le même total pour toutes les diagonales brisées du type considéré ; un contrôle partiel ne permet donc pas de conclure.
Pour aller plus loin
Le glossaire carré panmagique permet d'examiner la famille plus large à laquelle la source rattache le carré hypermagique. Vous y gagnez le vocabulaire nécessaire pour situer la propriété des diagonales brisées dans une définition plus générale.
L'article Construire son premier carré magique propose un prolongement pratique sur la construction d'une grille magique. Il aide à comprendre le socle que le carré hypermagique renforce ensuite par ses diagonales brisées.
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