ArithmétiqueNotion · Glossaire
carré bimagique
Un carré bimagique est un carré magique ayant la propriété supplémentaire que si l'on élève chaque élément au carré, le tableau résultant est également un carré magique. Autrement dit, les sommes des carrés des éléments sont égales sur chaque ligne, chaque colonne et les deux diagonales principales. Le premier carré bimagique connu a été construit en 1890 par G. Pfeffermann. Cette notion se généralise : un carré multimagique d'ordre k est un carré magique qui reste magique lorsque chaque entrée est élevée à toute puissance entière de 1 à k.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Définir la double condition d'un carré bimagique
- Vérifier les lignes, colonnes et diagonales après élévation au carré
- Distinguer carré magique, carré bimagique et carré multimagique
En clair
Imaginez un tableau carré de nombres. Dans un carré magique, chaque ligne, chaque colonne et les deux grandes diagonales donnent la même somme. Un carré bimagique conserve cette égalité après une seconde opération : chaque nombre est remplacé par son carré. Il faut donc vérifier deux tableaux liés, le tableau de départ et celui obtenu après les élévations au carré. Cette double régularité explique le préfixe « bi » et en fait un objet de récréation mathématique exigeant.
Définition
Un carré bimagique est un tableau carré qui satisfait d'abord la définition d'un carré magique, puis une condition supplémentaire sur les carrés de ses entrées. Si l'entrée située à la ligne i et à la colonne j est notée par aij, le tableau transformé contient aij2. Dans le tableau initial, les sommes de chaque ligne, de chaque colonne et des deux diagonales principales sont égales. Dans le tableau transformé, les sommes correspondantes doivent encore être égales, éventuellement à une autre valeur.
Le mot « carré » désigne ici la forme du tableau, et non l'opération d'élévation au carré. La propriété porte sur toutes les lignes, toutes les colonnes et les deux diagonales principales ; vérifier seulement les lignes ne suffit donc pas. Plus généralement, un carré multimagique d'ordre k reste magique lorsque chaque entrée est élevée à chacune des puissances entières de 1 à k. Le carré bimagique correspond au contrôle des puissances 1 et 2.
Un exemple, pas à pas
Pour examiner un tableau candidat, on peut suivre un contrôle en deux temps. Le tableau de départ est le carré 3 × 3 suivant :
Les données utiles sont les nombres 1 à 9, la taille 3 × 3 et les deux opérations demandées : les sommes ordinaires, puis les sommes des carrés.
Chaque ligne du tableau initial a pour somme 15 ; chaque colonne et chaque diagonale principale ont également pour somme 15. Le premier contrôle est donc satisfait.
Après élévation au carré, la première ligne devient 64, 1, 36, dont la somme vaut 101. La deuxième devient 9, 25, 49, dont la somme vaut 83. Les sommes diffèrent déjà entre ces deux lignes.
Le tableau de départ est donc magique, mais il n'est pas bimagique : le contrôle des carrés échoue. Ce calcul montre pourquoi les deux vérifications sont nécessaires.
En pratique
Pour tester un tableau, commencez par additionner séparément chaque ligne, chaque colonne et les deux diagonales principales. Si ces sommes ne coïncident pas, le tableau n'est pas magique et le contrôle peut s'arrêter.
Si le premier test réussit, remplacez chaque entrée par son carré, puis reprenez exactement le même parcours. Cette seconde passe porte sur les mêmes lignes, colonnes et diagonales, mais sur les nouvelles valeurs.
Une feuille de calcul ou un programme peut réduire les additions répétées lorsque le tableau est grand. Le critère observable reste l'égalité de toutes les sommes requises, pas l'outil utilisé pour les calculer.
À ne pas confondre
Un carré magique n'est pas nécessairement bimagique. Le carré magique est validé dès que les sommes ordinaires coïncident ; le carré bimagique exige en plus l'égalité des sommes après élévation de chaque entrée au carré. Le tableau conducteur de l'exemple satisfait le premier critère, mais ses sommes 101 et 83 montrent qu'il échoue au second.
Un carré bimagique n'est pas non plus synonyme de carré multimagique. Le premier impose les puissances 1 et 2. Le second, d'ordre k, impose toutes les puissances entières de 1 à k ; il s'agit d'une exigence plus large lorsque k dépasse 2.
Limites et pièges
Le piège principal consiste à contrôler seulement une partie du tableau. Des lignes de même somme ne suffisent pas : il faut aussi contrôler toutes les colonnes et les deux diagonales principales, d'abord avec les entrées initiales, puis avec leurs carrés.
Un autre piège est de croire que le second tableau doit conserver la même somme magique que le premier. La définition exige l'égalité entre les sommes du tableau transformé, mais elle n'impose pas que cette valeur soit celle du tableau initial.
Enfin, l'ordre 2 ne désigne pas la taille du tableau. Il désigne ici la puissance maximale contrôlée dans la généralisation multimagique ; la taille du carré est une autre donnée.
Pour aller plus loin
Le glossaire carré magique fournit le cadre de base : il permet de revoir la condition d'égalité des sommes avant d'étudier la contrainte supplémentaire imposée par les carrés des entrées.
La généralisation vers les carrés multimagiques ouvre ensuite une question naturelle : jusqu'à quelle puissance entière un même tableau peut-il rester magique ? La fiche présente cette extension comme une famille de contraintes successives, sans confondre son ordre avec la taille du tableau.
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