carré alphamagique

Prenez une grille carrée de nombres et additionnez chaque ligne, chaque colonne et les deux diagonales. Si toutes donnent la même somme, le carré est magique. Écrivez ensuite chaque nombre en lettres et comptez ses lettres.

Dans notre exemple, 982 devient « neuf cent quatre-vingt-deux », soit 23 lettres sans les espaces ni les traits d'union. Quand les neuf comptes obtenus forment eux aussi un carré à sommes égales, le carré de départ est alphamagique.

Un carré alphamagique est d'abord un carré magique : les sommes des entiers de chaque ligne, de chaque colonne et des deux diagonales sont égales. Cette valeur commune est appelée somme magique. La propriété alphamagique ajoute une seconde vérification après transformation de chaque entier en longueur de son nom.

Fixons une langue et une convention de comptage. Pour un entier n, notons ℓ(n) le nombre de lettres de son écriture en toutes lettres ; dans l'exemple français, les espaces et traits d'union ne comptent pas. L'entier a_ij occupe la ligne i et la colonne j, numérotées de 1 à 3. Il faut trouver une somme S pour le carré initial et une somme T pour le carré des longueurs :Les mêmes égalités doivent aussi valoir sur les deux diagonales. Ici, l'ordre est trois, mais le mécanisme s'étend à d'autres tailles de carrés dès que la définition retenue du carré magique est respectée.

La seconde grille peut répéter des longueurs : dans l'exemple, 19, 23 et 27 apparaissent chacun trois fois. Ce sont les égalités de sommes qui portent la propriété alphamagique. Un changement de langue ou de règle orthographique peut changer ℓ(n) et faire disparaître cette propriété.

Vérifions un carré d'ordre trois en français. Nous comptons seulement les lettres : les espaces et les traits d'union sont ignorés, mais toutes les lettres des noms de nombres sont conservées.

Données :
première ligne : 982, 570, 794 ;
deuxième ligne : 594, 782, 970 ;
troisième ligne : 770, 994, 582.

1. Additionnons les lignes : 982 + 570 + 794 = 2 346, 594 + 782 + 970 = 2 346 et 770 + 994 + 582 = 2 346.
2. Les trois colonnes et les deux diagonales donnent aussi 2 346.
3. Comptons les lettres de chaque nom. On obtient successivement 23, 19, 27 ; 27, 23, 19 ; 19, 27, 23.
4. Dans cette nouvelle grille, chaque ligne, chaque colonne et chaque diagonale totalise 69.

Les deux grilles peuvent être contrôlées case par case : « neuf cent quatre-vingt-deux » compte 23 lettres, « cinq cent soixante-dix » en compte 19 et « sept cent quatre-vingt-quatorze » en compte 27. Les huit sommes égales dans chaque grille confirment que ce carré est alphamagique avec la convention annoncée.

Pour tester un carré proposé, commencez par les sommes numériques. Si une seule ligne, colonne ou diagonale diffère, le carré n'est déjà pas magique et le comptage des lettres est inutile.

Si le premier contrôle réussit, écrivez chaque entier sans abréviation et annoncez la langue ainsi que la règle appliquée aux espaces et aux traits d'union. Comptez ensuite les lettres, puis refaites les huit sommes sur la grille transformée.

Pour comparer deux langues, conservez le carré numérique et ne remplacez que les noms des nombres. Une différence dans les neuf longueurs montre où la magie alphabétique se maintient ou se rompt ; le carré numérique, lui, reste inchangé.

Un carré magique satisfait les égalités de sommes sur ses nombres. Il n'est alphamagique que si la grille des nombres de lettres satisfait à son tour ces égalités. Une réussite du premier test et un échec du second tranchent immédiatement.

La langue fait partie du test. Traduire les neuf nombres modifie leurs longueurs de façon inégale. Il faut recommencer les comptes dans la langue choisie au lieu de transférer le verdict obtenu en français.

La convention orthographique doit être stable. Compter un trait d'union dans une case et l'ignorer dans une autre fausse les sommes. Il faut annoncer une règle unique ; notre exemple ne compte que les lettres.

Des longueurs répétées ne sont pas un échec. La grille transformée de l'exemple contient trois fois 19, trois fois 23 et trois fois 27. Pour le test alphamagique, le symptôme décisif est une somme de ligne, de colonne ou de diagonale différente de 69, non la répétition d'une valeur.

Trois lignes égales ne suffisent pas. Un tableau peut avoir la même somme sur ses lignes sans l'avoir sur ses colonnes ou ses diagonales. Il faut contrôler les huit alignements d'un carré d'ordre trois avant de conclure.

Le glossaire carré magique précise la structure numérique sur laquelle repose la propriété alphamagique.

L'article Construire son premier carré magique permet de travailler d'abord les égalités de sommes avant d'ajouter la transformation par les lettres.