AlgèbreObjet mathématique · Glossaire
matrice de Cayley
Pour un groupe fini, une matrice de Cayley est une matrice binaire dont les lignes et les colonnes correspondent aux éléments du groupe : une case vaut 1 si le quotient de l’élément de sa ligne par celui de sa colonne appartient à un sous-ensemble générateur fixé, et 0 sinon. Le nom désigne aussi couramment la table de Cayley, qui rassemble tous les résultats de la loi de composition et montre comment les éléments du groupe se combinent.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Lire la table de multiplication d'un groupe fini.
- Distinguer la table de Cayley d'une matrice binaire associée à des générateurs.
- Construire et contrôler les deux objets pour le groupe cyclique à trois éléments.
- Repérer l'effet du choix des générateurs et de la convention d'orientation.
En clair
Imaginez trois symboles e, a et a², puis cherchez le résultat obtenu en combinant n'importe quelle paire. Une table de Cayley range les neuf réponses dans une grille : le symbole de la ligne est combiné avec celui de la colonne. Toute la loi du groupe devient ainsi visible d'un seul regard.
Une matrice binaire apparentée remplace ces résultats par des 0 et des 1. Elle indique quelles paires sont reliées par un générateur choisi, plutôt que de recopier le produit lui-même.
Définition
Soit G un groupe fini comportant n éléments. Sa table de Cayley est une grille carrée dont les lignes et les colonnes sont indexées par les éléments de G. La case située sur la ligne g et la colonne h contient le produit g·h. Elle enregistre donc les n² valeurs de la loi de composition. L'ordre choisi pour disposer les éléments modifie l'apparence de la grille, mais pas le groupe qu'elle décrit.
Dans le sens matriciel donné ici, on fixe un sous-ensemble générateur S de G. La matrice A comporte une ligne et une colonne par élément. Son entrée de ligne g et de colonne h est définie par
Cette matrice ne contient pas les produits : elle code seulement la relation déterminée par S.
La convention g·h−1 fixe aussi le sens de lecture : une entrée 1 signifie que g=s·h pour un générateur s de S. Changer S peut changer la matrice tout en gardant le même groupe. Arthur Cayley (1821–1895) a contribué à fonder au XIXᵉ siècle la théorie des matrices et celle des groupes abstraits.
De quoi c'est fait
Quatre données organisent l'objet. Le groupe fini G fournit les éléments et leur loi de composition. Un ordre choisi place ces éléments sur les n lignes et les n colonnes. Dans la table, chaque case dépend directement des deux en-têtes qui la repèrent : elle contient leur produit.
Pour la matrice binaire, une donnée supplémentaire est indispensable : le sous-ensemble générateur S. La case dépend alors du quotient g·h−1 et de son appartenance à S. Le groupe et S suffisent à calculer tous les 0 et les 1 ; l'ordre des indices ne fait que permuter simultanément leur présentation. La couleur ou le tracé d'une grille ne fait partie d'aucune des deux définitions.
Un exemple, pas à pas
Prenons le groupe cyclique G={e, a, a²}, où e est l'élément neutre et a³=e. Conservons l'ordre e, a, a² pour les lignes et les colonnes. Pour la matrice binaire, choisissons S={a}. La figure synthétise les deux constructions avec ces mêmes données.
1. Dans la table, la ligne a donne successivement a·e=a, a·a=a² et a·a²=e. Les deux autres lignes s'obtiennent de la même manière.
2. Pour la matrice, l'entrée de ligne g et de colonne h vaut 1 exactement lorsque g·h−1=a. Par exemple, a·e−1=a donne un 1, tandis que e·e−1=e donne un 0.
3. En calculant les neuf quotients, on obtient
4. Le contrôle est immédiat : chaque colonne contient un seul 1, car multiplier son indice h à gauche par a produit un unique élément g. Les trois 1 correspondent à e→a, a→a² et a²→e.
En pratique
Pour effectuer des calculs dans un petit groupe fini, la table est le support direct : choisissez la ligne du premier facteur et la colonne du second, puis lisez leur intersection. Une formule de multiplication est préférable lorsque le groupe est trop grand pour qu'une grille reste lisible.
Pour vérifier une table candidate, observez chaque ligne et chaque colonne. Les axiomes du groupe imposent notamment qu'elles contiennent chacune tous les éléments une seule fois ; ce test n'établit toutefois pas à lui seul l'associativité.
Pour étudier les déplacements produits par des générateurs, la matrice binaire est plus adaptée. Une entrée 1 signale une relation autorisée par S ; la table reste préférable si l'on veut connaître le produit exact.
À ne pas confondre
Table de Cayley et matrice binaire associée. La première inscrit un élément du groupe dans chaque case ; la seconde n'inscrit que 0 ou 1 après le choix de S. Dans l'exemple, la case de ligne a et de colonne a contient a² dans la table, mais 0 dans la matrice.
Matrice et graphe de Cayley. La matrice est un tableau de nombres indexé par les éléments ; le graphe représente ces éléments comme sommets et les relations comme arêtes ou arcs. Ils portent une information liée, mais ne sont pas le même objet.
Théorème de Cayley-Hamilton. Ce théorème concerne une matrice carrée et son polynôme caractéristique. Il ne construit ni la table de multiplication d'un groupe ni la matrice binaire définie par des générateurs.
Limites et pièges
Le nom est ambigu. Une source peut appeler « matrice de Cayley » la table de multiplication elle-même ou une matrice binaire liée à des générateurs. Le contenu des cases tranche : éléments de G dans le premier cas, seulement 0 et 1 dans le second.
La convention d'orientation compte. La condition g·h−1∈S code ici la multiplication à gauche. Une autre convention peut employer h−1·g ou inverser lignes et colonnes. Il faut donc lire la définition des entrées avant d'interpréter les 1.
La symétrie n'est pas automatique. Avec G={e,a,a²} et S={a}, la matrice de l'exemple n'est pas symétrique. Pour obtenir la relation inverse dans les deux sens, le choix des générateurs doit aussi prendre en compte les inverses.
Une grille bien remplie ne suffit pas. Avoir chaque élément une fois par ligne et par colonne est nécessaire pour une table de groupe, mais ne garantit pas l'associativité. En cas de table candidate, cette propriété doit être contrôlée séparément.
Pour aller plus loin
Le graphe de Cayley transforme la relation codée par la matrice en sommets et en liaisons, afin d'en rendre la structure visible.
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