magma - structure algébrique -

Prenez les trois nombres 0, 1 et 2. Pour chaque paire ordonnée de ces nombres, y compris lorsqu’un même nombre est pris deux fois, appliquez toujours la même règle et exigez seulement que le résultat appartienne encore à cette petite collection. Cet ensemble et cette règle forment un magma.

La règle peut se comporter de façon très libre : changer l’ordre des deux entrées peut changer le résultat, et regrouper trois calculs autrement aussi. Le mot magma garantit uniquement que l’opération ne fait pas sortir de l’ensemble choisi.

Un magma est un couple formé d’un ensemble, noté M, et d’une opération binaire interne, notée ★. À chaque paire ordonnée d’éléments a et b de M, l’opération associe un unique élément a ★ b qui appartient encore à M. Cette fermeture s’écrit $\star :M\times M⟶M\backslash star\; :\; M\; \backslash times\; M\; \backslash longrightarrow\; M$. L’ordre compte : rien n’impose que a ★ b soit égal à b ★ a.

Aucun autre axiome n’entre dans la définition. En particulier, l’opération n’est pas nécessairement associative ; elle peut ne posséder aucun élément neutre ; ses éléments peuvent ne pas avoir d’inverse. Une table à double entrée peut décrire l’opération lorsque M est fini, mais cette table n’est qu’une représentation de la loi.

La hiérarchie s’obtient en ajoutant des conditions. Un magma associatif est un semi-groupe. Un semi-groupe doté d’un élément neutre est un monoïde. Un monoïde dans lequel chaque élément possède un inverse est un groupe. Ces propriétés supplémentaires ne peuvent jamais être déduites du seul mot magma.

Un magma réunit trois données liées. Le support M est l’ensemble des objets manipulés. Les entrées sont toutes les paires ordonnées prises dans M × M : la première et la seconde place ont des rôles distincts. La loi ★ attribue à chacune de ces paires un seul résultat dans M.

Le domaine M × M dépend donc du support, tandis que la fermeture relie chaque résultat au même support. Pour un ensemble fini, une table suffit à reconstruire la loi si chaque case contient exactement un élément de M. Les noms des éléments, l’ordre des lignes et les couleurs éventuelles ne définissent pas une structure supplémentaire : seule compte l’attribution d’un résultat à chaque paire ordonnée.

Considérons l’ensemble M = {0, 1, 2}. Pour deux éléments a et b, on définit a ★ b comme le reste modulo 3 de a + 2b. Les données sont donc le support M, la paire ordonnée (a, b) et cette règle unique.

1. Pour remplir une case de la table, on choisit sa ligne a et sa colonne b. Par exemple, 0 ★ 1 est le reste de 0 + 2 × 1 : il vaut 2.

2. Chaque résultat est 0, 1 ou 2. La loi est donc interne sur M, ce qui suffit pour obtenir un magma. La table rend cette fermeture contrôlable case par case.

3. Testons ensuite une propriété qui n’est pas garantie. D’un côté, (0 ★ 1) ★ 1 = 2 ★ 1 = 1. De l’autre, 0 ★ (1 ★ 1) = 0 ★ 0 = 0. Les deux résultats diffèrent : ce magma n’est pas associatif.

Le contrôle peut être refait directement avec les cases (0, 1), (2, 1), (1, 1) et (0, 0) de la table. Il confirme à la fois la fermeture et l’échec de l’associativité.

Devant une règle à deux entrées, le premier geste consiste à fixer l’ensemble de départ puis à vérifier que chaque résultat y reste. Si un résultat en sort, il faut abandonner le terme loi interne ou choisir un support élargi sur lequel la règle est définie pour toutes les paires et dont aucun résultat ne sort.

Sur un ensemble fini, on peut consigner les résultats dans une table. Chaque ligne correspond à la première entrée et chaque colonne à la seconde. Une case manquante ou contenant plusieurs résultats signale que la règle donnée ne définit pas encore une opération binaire.

Une fois le magma établi, on teste séparément les propriétés utiles. Si tous les regroupements de trois éléments donnent le même résultat, le nom plus précis de semi-groupe convient. Un élément neutre puis des inverses conduisent, sous les conditions précédentes, aux noms de monoïde puis de groupe.

Semi-groupe. Un semi-groupe est un magma dont la loi est associative. Dans l’exemple, (0 ★ 1) ★ 1 vaut 1, tandis que 0 ★ (1 ★ 1) vaut 0 : ce cas est un magma, mais pas un semi-groupe.

Monoïde. Un monoïde est un semi-groupe possédant un élément neutre des deux côtés. La présence d’une loi interne, même accompagnée d’un élément neutre d’un seul côté, ne suffit donc pas.

Groupe. Un groupe est un monoïde dans lequel chaque élément admet un inverse pour la loi. Un magma peut ne satisfaire ni l’associativité, ni l’existence d’un neutre, ni celle d’inverses ; il ne faut pas lui appliquer automatiquement les règles de calcul d’un groupe.

Fermeture oubliée. Une formule peut donner un résultat extérieur à M. Ce seul contre-exemple empêche d’avoir une loi interne sur M ; il faut modifier la règle ou le support avant d’étudier le magma.

Associativité supposée. Les parenthèses ne peuvent être déplacées sans preuve. Dans le magma de l’exemple, les deux regroupements de 0, 1 et 1 donnent respectivement 1 et 0 ; il faut donc conserver les parenthèses.

Neutre d’un seul côté. Dans l’exemple, a ★ 0 = a pour tout a de M, mais 0 ★ 1 = 2. Le nombre 0 est neutre à droite seulement ; il ne faut pas le traiter comme un élément neutre bilatère.

Support vide. Il existe une unique application de l’ensemble vide × lui-même vers l’ensemble vide. Elle satisfait formellement la fermeture, mais certaines conventions réservent les structures algébriques aux ensembles non vides ; il faut annoncer la convention employée.

Le semi-groupe montre ce que change l’ajout de l’associativité : les parenthèses cessent d’influer sur un produit de plusieurs éléments.

Le monoïde ajoute au semi-groupe un élément neutre et permet d’étudier les produits vides aussi bien que les produits successifs.

Le groupe complète cette progression avec des inverses pour tous les éléments, après l’associativité et l’existence d’un neutre.