AlgèbreObjet mathématique · Glossaire
groupe - structure algébrique -
Avec l'addition des entiers, le résultat reste entier, zéro ne change rien et chaque entier possède un opposé : c'est un exemple de groupe. Plus généralement, un groupe est un ensemble E muni d'une loi de composition interne associative, dotée d'un élément neutre e et pour laquelle chaque élément possède un symétrique, ou inverse. Si la loi est aussi commutative, le groupe est dit abélien. L'exemple guidé permet de vérifier ces propriétés pas à pas ; leur formulation complète est donnée ensuite.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier l'ensemble, la loi interne et les trois axiomes d'un groupe.
- Vérifier ces conditions sur l'addition des entiers.
- Distinguer un groupe quelconque d'un groupe abélien.
- Repérer pourquoi zéro est exclu du groupe multiplicatif des réels non nuls.
En clair
Prenez les entiers et additionnez-en deux : le résultat est encore un entier. Vous pouvez regrouper trois additions comme vous voulez sans changer le total. Zéro ne modifie aucun nombre, et chaque entier peut être annulé par son opposé.
Ces quatre repères — une opération qui reste dans l'ensemble, l'associativité, un élément neutre et un inverse pour chacun — forment la structure de groupe. L'ordre des éléments peut parfois compter ; quand il ne compte jamais, le groupe est dit abélien.
Définition
Un groupe est un ensemble, noté E, muni d'une loi de composition interne, notée T. Le mot « interne » signifie que combiner deux éléments de E donne encore un élément de E. La structure dépend donc à la fois de l'ensemble et de la loi choisie.
Trois axiomes complètent cette fermeture. Pour tous les éléments x, y et z de E, la loi est associative : . Il existe dans E un élément neutre, noté e, qui laisse tout élément inchangé : . Enfin, chaque élément x possède dans E un symétrique, ou inverse, noté x', tel que .
La commutativité n'est pas exigée pour être un groupe. Si, pour tous x et y de E, , le groupe est appelé abélien, ou commutatif. Les entiers relatifs avec l'addition et les réels non nuls avec la multiplication sont des exemples ; les isométries, les rotations et les symétries fournissent aussi des groupes.
De quoi c'est fait
La structure comporte d'abord un ensemble E, qui fixe les objets autorisés, puis une loi interne T, qui combine deux de ces objets sans sortir de E. Sans ce couple, les autres propriétés n'ont pas de sens.
L'associativité permet de regrouper plusieurs opérations sans ambiguïté. L'élément neutre e sert de repère puisqu'il ne change aucun élément. Le symétrique x' dépend à la fois de x et de la loi : sa combinaison avec x ramène au neutre.
Ces données et relations suffisent à reconnaître un groupe et à enchaîner ses opérations. La commutativité est une propriété supplémentaire : elle distingue les groupes abéliens, mais ne fait pas partie des conditions communes à tous les groupes.
Un exemple, pas à pas
Considérons les entiers relatifs munis de l'addition. Les données choisies sont les entiers 4, −7 et 3 ; la loi est + et l'élément neutre pressenti est 0. Les calculs qui suivent illustrent sur ces valeurs les propriétés générales de l'addition des entiers.
1. Pour tous entiers a et b, leur somme est encore un entier : c'est la fermeture de ℤ pour l'addition. Par exemple, 4 + (−7) = −3.
2. L'addition des entiers est associative pour tous entiers a, b et c. Sur les données choisies, cette propriété s'illustre ainsi : , tandis que . Les deux regroupements donnent le même résultat.
3. Pour tout entier a, on a : le nombre 0 est donc le neutre de l'addition. Sur la valeur choisie, 4 + 0 = 0 + 4 = 4.
4. Tout entier a possède un opposé −a tel que . Ainsi, l'opposé de 4 est −4, et 4 + (−4) = (−4) + 4 = 0. Les propriétés générales énoncées établissent que les entiers forment un groupe pour l'addition ; ces calculs les illustrent sur les valeurs choisies. Enfin, l'égalité 4 + (−7) = (−7) + 4 illustre aussi, sur ce cas, la commutativité générale de l'addition des entiers.
En pratique
Avec les entiers relatifs, l'addition est le choix naturel lorsque l'on veut cumuler puis annuler une variation par son opposé. La multiplication n'est pas interchangeable : l'inverse additif de 4 est −4, pas son inverse multiplicatif.
Avec les réels, la multiplication forme un groupe seulement si l'on écarte zéro. Le critère observable est l'existence d'un nombre qui, multiplié par l'élément choisi, donne le neutre 1.
Pour des isométries, des rotations ou des symétries, la loi consiste à effectuer une transformation puis une autre. Ce cadre est préférable à l'addition des entiers lorsque les éléments manipulés sont des transformations ; leur inverse ramène à la position de départ.
À ne pas confondre
Une loi de composition interne et un groupe. Une loi interne garantit seulement que le résultat reste dans l'ensemble. Pour obtenir un groupe, il faut encore l'associativité, un neutre et un inverse pour chaque élément.
La soustraction des entiers tranche la distinction : elle reste dans les entiers, mais alors que . Comme les deux regroupements diffèrent, cette loi n'est pas associative et ne définit pas un groupe.
Limites et pièges
Ne pas imposer la commutativité. Échanger x et y peut changer le résultat dans un groupe. Il faut donc vérifier séparément l'égalité x T y = y T x avant d'employer le mot « abélien ».
Respecter l'ensemble annoncé. Pour la multiplication des réels, zéro doit être exclu : aucun réel multiplié par 0 ne donne le neutre 1. Le groupe cité est bien celui des réels non nuls.
Identifier la loi avant l'inverse. Le symétrique d'un élément n'est pas une donnée isolée. Pour l'addition, 4 est annulé par −4 ; pour la multiplication, l'inverse est l'élément qui donne 1. Il faut toujours chercher le neutre de la loi considérée.
Pour aller plus loin
De l’algèbre « concrète » à l’algèbre « abstraite » — Pour situer la structure de groupe dans le passage des calculs sur des objets particuliers aux lois algébriques générales.
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