GéométrieNotion · Glossaire
Élément neutre
L'élément neutre d'une opération binaire dans un ensemble est l'élément e tel que l'opération de tout élément avec e donne ce même élément. On distingue l'élément neutre à gauche (e * a = a pour tout a) et à droite (a * e = a pour tout a), et l'élément neutre bilatère qui est les deux à la fois. L'unicité de l'élément neutre bilatère est un résultat standard : si e et e' sont tous deux neutres, alors e = e * e' = e'.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier un élément neutre à gauche, à droite ou bilatère.
- Vérifier le neutre de l'addition modulo 5 dans les deux ordres.
- Justifier l'unicité d'un neutre bilatère sans supposer la commutativité.
- Distinguer neutre, absorbant, symétrique et idempotent.
En clair
Ajoutez zéro à 7 : le résultat reste 7. Multipliez 7 par 1 : là encore, 7 ne change pas. Zéro et un jouent ici le même rôle pour deux opérations différentes : ce sont leurs éléments neutres.
Un élément neutre laisse donc les autres éléments inchangés quand on effectue l'opération. Il faut toutefois regarder les deux ordres possibles : le neutre peut agir à gauche, à droite, ou des deux côtés.
Définition
Soit un ensemble E muni d'une loi de composition interne, notée par le symbole ⋆. Un élément e de E est neutre à gauche lorsque e ⋆ a = a pour tout élément a de E. Il est neutre à droite lorsque a ⋆ e = a pour tout a. S'il vérifie les deux conditions, e est un élément neutre bilatère.
La condition bilatère s'écrit :
Elle dépend toujours de l'opération considérée. Ainsi, zéro est neutre pour l'addition des entiers, tandis que un est neutre pour leur multiplication.
S'il existe, le neutre bilatère est unique. En effet, si e et e′ sont tous deux neutres, e ⋆ e′ vaut e′ parce que e est neutre à gauche, et vaut e parce que e′ est neutre à droite. On obtient donc e = e′. Cette preuve n'exige ni associativité ni commutativité.
Un exemple, pas à pas
Considérons les restes 0, 1, 2, 3 et 4, additionnés modulo 5 : après l'addition, on conserve le reste de la division par 5. Nous cherchons un élément qui ne change aucun de ces cinq restes.
Données : l'ensemble est {0, 1, 2, 3, 4} et l'opération est l'addition modulo 5. Le candidat est 0.
1. Pour un reste a quelconque, 0 + a donne a : le candidat est neutre à gauche.
2. De même, a + 0 donne a : le candidat est neutre à droite.
3. Les deux égalités valent pour chacun des cinq restes, donc 0 est neutre bilatère.
2. De même, a + 0 donne a : le candidat est neutre à droite.
3. Les deux égalités valent pour chacun des cinq restes, donc 0 est neutre bilatère.
Le résultat général de la vérification est :
Contrôle refaisable : avec a = 3, on calcule 0 + 3 = 3 et 3 + 0 = 3 modulo 5. La figure rend visibles ces deux ordres sans prétendre remplacer la vérification pour tous les restes.
En pratique
Dans un calcul, reconnaître le neutre permet de supprimer une opération qui ne change rien. Avec l'addition modulo 5, ajouter 0 à une expression conserve sa valeur ; ajouter un autre reste la modifie en général.
Pour tester un candidat dans une opération non commutative, on vérifie séparément son action à gauche et à droite. Un seul ordre ne suffit pas ; cette double vérification évite de déclarer bilatère un neutre qui ne l'est que d'un côté.
Dans une structure algébrique, la présence d'un neutre aide aussi à identifier la structure étudiée. Pour parler de groupe, il faut en plus une loi associative et un symétrique pour chaque élément.
À ne pas confondre
Élément neutre et élément absorbant. Le neutre laisse l'autre élément inchangé ; l'absorbant impose sa propre valeur. Pour la multiplication des entiers, 1 est neutre car 1 × 7 = 7, tandis que 0 est absorbant car 0 × 7 = 0.
Élément neutre et symétrique. Le neutre est un élément particulier lié à l'opération entière. Le symétrique dépend d'un élément donné : modulo 5 pour l'addition, 0 est le neutre et 3 est le symétrique de 2, car 2 + 3 donne 0.
Neutre et idempotent. Un élément x est idempotent lorsque x ⋆ x = x. Tout neutre bilatère est idempotent, mais la réciproque est fausse : pour la multiplication des entiers, 0 est idempotent sans être neutre.
Limites et pièges
Un seul côté est vérifié. L'égalité e ⋆ a = a établit seulement que e est neutre à gauche. Si l'opération n'est pas commutative, il faut encore tester a ⋆ e = a avant de conclure à un neutre bilatère.
L'opération change. Un même ensemble peut avoir plusieurs neutres selon la loi. Sur les entiers, 0 convient pour l'addition et 1 pour la multiplication ; il faut toujours nommer l'opération avec le neutre.
L'existence n'est pas automatique. Une loi de composition interne peut ne posséder aucun neutre. Sur les entiers strictement positifs, l'addition reste interne, mais son neutre habituel 0 n'appartient pas à l'ensemble : aucun entier strictement positif n'est donc neutre pour cette loi.
Les neutres unilatéraux ne sont pas forcément uniques. L'unicité démontrée concerne le neutre bilatère. En revanche, s'il existe à la fois un neutre à gauche et un neutre à droite, ils sont égaux et constituent alors le neutre bilatère.
Pour aller plus loin
La loi de composition interne précise le cadre dans lequel l'opération combine deux éléments sans quitter l'ensemble.
La notion de symétrisable montre comment un élément peut être ramené au neutre par composition avec un autre.
La fiche groupe - structure algébrique - replace le neutre parmi les propriétés qui définissent un groupe.
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