AlgèbreNotion · Glossaire
Absorbant
Un élément absorbant d'une loi de composition interne sur un ensemble E est un élément a tel que, pour tout x dans E, on a a * x = x * a = a. L'élément absorbant impose sa propre valeur au résultat lorsqu'il est combiné à n'importe quel élément de l'ensemble. Par exemple, dans l'ensemble des entiers avec la multiplication, zéro est l'élément absorbant car 0 × n = n × 0 = 0 pour tout entier n. Un ensemble muni d'une loi admet au plus un élément absorbant.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier le critère bilatéral d'un élément absorbant.
- Vérifier le rôle de zéro dans la multiplication des entiers.
- Distinguer un élément absorbant d'un élément neutre.
- Repérer l'absence d'absorbant et les cas unilatéraux.
En clair
Prenez un entier, par exemple −7, puis multipliez-le par zéro. Que zéro soit placé à gauche ou à droite, le résultat est encore zéro. Dans cette opération, zéro absorbe donc l'autre nombre : celui-ci ne laisse aucune trace dans le résultat.
Un élément absorbant joue ce rôle pour une opération donnée. Il ne s'agit pas d'une propriété du nombre seul : zéro est absorbant pour la multiplication des entiers, mais pas pour leur addition.
Définition
On considère un ensemble E et une loi de composition interne, notée ∗, qui associe à deux éléments de E un résultat appartenant encore à E. Un élément a de E est absorbant lorsque sa combinaison avec tout élément x de E redonne a, quel que soit le côté où a est placé.
La condition complète s'écrit . Elle comporte donc une absorption à gauche et une absorption à droite. Si la loi est commutative, vérifier un seul des deux côtés suffit, puisque l'ordre des facteurs ne change pas le résultat.
Pour la multiplication dans l'ensemble des entiers, zéro est absorbant : pour tout entier n, 0 × n = n × 0 = 0. Une même loi ne peut pas avoir deux éléments absorbants distincts. En effet, si a et b étaient tous deux absorbants, le produit a ∗ b vaudrait a parce que a absorbe à gauche, et b parce que b absorbe à droite ; ainsi a = b. Une loi peut toutefois ne posséder aucun élément absorbant.
Un exemple, pas à pas
On travaille dans l'ensemble des entiers avec la multiplication. Les données sont l'élément candidat 0, l'entier −7 utilisé pour le test et l'entier 4 réservé au contrôle. Il faut vérifier les deux ordres de multiplication.
1. Multiplier à gauche. On place 0 avant −7.
2. Multiplier à droite. On inverse l'ordre des deux facteurs.
3. Conclure et contrôler. Les deux calculs donnent l'élément candidat 0. Le même contrôle avec 4 donne 0 × 4 = 4 × 0 = 0. Ces essais rendent le mécanisme visible ; la règle générale de la multiplication entière garantit ensuite le résultat pour tout entier.
En pratique
Dans une table d'opération finie où le premier opérande indique la ligne, on cherche une ligne et une colonne entièrement remplies par le même élément a. Si seule la ligne est constante, a est seulement absorbant à gauche ; si seule la colonne l'est, il est seulement absorbant à droite.
Dans un produit d'entiers, la présence d'un facteur nul permet de conclure immédiatement que le produit vaut zéro. En l'absence de zéro, il faut effectuer ou simplifier la multiplication au lieu d'appliquer cette règle.
Pour tester une opération, on commence par préciser l'ensemble et la loi. On vérifie ensuite les deux côtés avec un élément quelconque, car un exemple isolé ne prouve pas l'absorption pour tous les éléments.
À ne pas confondre
Élément neutre. Un élément neutre laisse l'autre élément inchangé, tandis qu'un élément absorbant impose sa propre valeur au résultat. Pour la multiplication des entiers, 1 est neutre car 1 × n = n, alors que 0 est absorbant car 0 × n = 0.
Zéro pour l'addition. Le nombre 0 n'est pas automatiquement absorbant dès qu'une opération porte sur des nombres. Dans l'addition des entiers, n + 0 = n : zéro y est neutre. Dans leur multiplication, n × 0 = 0 : il y est absorbant.
Limites et pièges
Un seul côté ne suffit pas en général. Pour une loi non commutative, constater a ∗ x = a ne garantit pas x ∗ a = a. Le symptôme est une ligne constante sans colonne constante dans la table de la loi. Il faut alors parler d'élément absorbant à gauche et tester séparément l'autre côté.
L'existence n'est pas garantie. La règle d'unicité signifie « au plus un », et non « exactement un ». L'addition des entiers n'a aucun élément absorbant : pour tout candidat a, choisir l'entier 1 donnerait a + 1 ≠ a. Il faut donc établir l'existence avant de nommer l'absorbant.
Le cas à un seul élément est dégénéré. Si l'ensemble contient uniquement a, alors a ∗ a = a est imposé par l'internalité de la loi. Le même élément est à la fois neutre et absorbant, sans contredire les définitions.
Pour aller plus loin
La fiche Loi de composition interne précise le cadre dans lequel deux éléments d'un ensemble sont combinés sans en sortir.
La fiche Élément neutre approfondit le rôle opposé : conserver l'autre élément au lieu d'imposer le sien.
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