AlgèbreNotion · Glossaire
Symétrisable
Sur un espace euclidien réel ou un espace de Hilbert complexe, un opérateur linéaire borné A est symétrisable s’il existe un opérateur S autoadjoint, borné et coercif, donc strictement positif et inversible à inverse bornée, tel que SA soit autoadjoint. En dimension finie réelle, cela revient à trouver une matrice symétrique définie positive D telle que DA soit symétrique ; A est alors semblable à une matrice symétrique, ce qui permet d’en exploiter les propriétés spectrales.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier une pondération positive à la symétrie du produit DA.
- Vérifier le critère sur une matrice 2 × 2.
- Déduire la réalité du spectre et la diagonalisabilité en dimension finie.
- Distinguer symétrisabilité, symétrie et partie symétrique.
En clair
Prenons une matrice dont les nombres ne se répondent pas de part et d’autre de la diagonale. Elle n’est donc pas symétrique. Il est parfois possible de pondérer différemment ses lignes pour rétablir cet équilibre.
Une matrice est symétrisable lorsqu’une pondération positive et cohérente la transforme ainsi en matrice symétrique. Elle peut alors être étudiée comme une matrice symétrique, après un changement adapté de la manière de mesurer les vecteurs.
Définition
Soit A un opérateur linéaire borné sur un espace euclidien réel, ou sur un espace de Hilbert complexe. On dit que A est symétrisable s’il existe un opérateur S autoadjoint, borné et coercif, donc strictement positif et inversible à inverse bornée, tel que le produit SA soit autoadjoint. Cette condition signifie que A devient autoadjoint pour le produit scalaire pondéré défini par S.
En dimension finie réelle, les opérateurs sont représentés par des matrices. La matrice A est symétrisable s’il existe une matrice D symétrique définie positive telle que :
Cette identité exprime exactement que DA est symétrique. La matrice D n’est pas nécessairement diagonale.
La racine carrée positive de D, notée D1/2, fournit alors la matrice symétrique suivante :
Ainsi, A et B sont semblables. En dimension finie, A possède donc des valeurs propres réelles et une base de vecteurs propres. Réciproquement, toute matrice réelle diagonalisable à valeurs propres réelles admet une telle symétrisation.
Un exemple, pas à pas
On considère la matrice A et la matrice de pondération D :
• A a pour lignes (1, 1) et (2, 2).
• D est diagonale, avec 2 puis 1 sur sa diagonale.
• Les deux coefficients de D sont strictement positifs.
• A a pour lignes (1, 1) et (2, 2).
• D est diagonale, avec 2 puis 1 sur sa diagonale.
• Les deux coefficients de D sont strictement positifs.
1. Écrivons les données sous forme matricielle.
2. La matrice D est symétrique et définie positive, car ses valeurs diagonales sont 2 et 1.
3. Multiplions D par A. La première ligne de A est multipliée par 2 et la seconde reste inchangée.
4. Le résultat est symétrique : ses deux coefficients situés de part et d’autre de la diagonale valent 2. La matrice A est donc symétrisable, bien qu’elle ne soit pas elle-même symétrique.
Le contrôle spectral donne le même verdict : le polynôme caractéristique de A vaut λ(λ − 3). Ses valeurs propres sont 0 et 3, toutes deux réelles et distinctes.
En pratique
Pour tester une petite matrice, on cherche une matrice symétrique définie positive D qui vérifie ATD = DA. Lorsque D est diagonale, le calcul revient à attribuer un poids positif à chaque ligne.
Pour étudier le spectre, on remplace A par la matrice symétrique semblable D1/2AD−1/2. Les outils propres aux matrices symétriques deviennent alors disponibles, notamment une base orthonormée pour le produit scalaire pondéré.
Si aucune pondération positive ne convient, une diagonalisation complexe peut encore exister, mais elle ne remplace pas la symétrisation : des valeurs propres non réelles excluent immédiatement celle-ci.
À ne pas confondre
Matrice symétrique. Elle vérifie directement AT = A. Une matrice symétrisable peut échouer à ce test : dans l’exemple, les coefficients 1 et 2 hors diagonale diffèrent, mais DA est symétrique.
Partie symétrique d’une matrice. La matrice (A + AT)/2 est toujours symétrique, mais cette opération modifie généralement les valeurs propres. Symétriser A consiste au contraire à trouver une pondération D qui établit une similitude avec une matrice symétrique.
Matrice définie positive. Cette propriété porte sur le signe de la forme quadratique associée à une matrice symétrique. Dans la symétrisabilité, c’est la matrice de pondération D qui doit être définie positive, pas nécessairement A.
Limites et pièges
Une matrice diagonale D n’est pas toujours disponible. Exiger que la pondération soit diagonale définit une condition plus restrictive. Si cette recherche échoue, il faut encore tester une matrice D symétrique définie positive générale.
La pondération n’est pas unique. Si D convient, tout multiple strictement positif de D convient aussi. Il ne faut donc pas attendre une solution unique d’une équation de symétrisation.
Le côté du produit compte. Le critère utilisé ici est ATD = DA, donc DA est symétrique. Vérifier seulement que AD est symétrique ne valide pas cette même pondération.
En dimension infinie, les hypothèses fonctionnelles comptent. Pour conclure à une similitude avec un opérateur autoadjoint, S doit permettre une racine carrée et une inverse bornée sur l’espace considéré. Une simple positivité non coercive ne suffit pas à garantir ces conclusions spectrales.
Pour aller plus loin
forme définie positive — Pour préciser pourquoi la pondération D définit un produit scalaire et possède une racine carrée positive.
valeur propre — Pour approfondir les données spectrales réelles héritées de la matrice symétrique semblable.
Symétrique positive (matrice) — Pour distinguer la matrice de pondération positive de l’opérateur qu’elle sert à symétriser.
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